什么是数学期望？（小石头来尝试着回答这个问题！）人类在面对复杂事物时，一般不是（也很难）谈论事物的整体，而是抽出事物的某些特征来评头论足！对于随机变量 X 也是如此！数学期望，就是 从 X 中抽出 的 数字特征 之一
什么是数学期望？
（小石头来尝试着回答这个问题！）人类在面对(拼音：duì)复杂事物时，一般不是(练：shì)（也很难）谈论事物的整体，而是抽出事物的某些特征来评头论足！对于随机变量 X 也是如此！数学期望，就是 从 X 中抽出 的 数字特征 之一。
数学期望可以简单的理解为：随机[繁：機]变量的平均值。但要真的说清楚chǔ 它，我们需要从头开始：
世界上，有很多可重复的实验，比如：
掷骰子、抛硬(拼音：yìng)币、记录雪花在操场跑道上的落点、...
这些实验的全部可能结果，实验前已知，比{pinyin：bǐ}如：
抛硬币的结果 = {正，反《练：fǎn》}、雪花落点 = [0， L] （设，跑道长度 = L，宽度忽略《读：lüè》）
但是，实验的具体结果却无法预估，这样的实验称为 随机试验，实《繁体：實》验结果称为 样本，全体《繁：體》可能的实验结果，称为 样[繁体：樣]本空间，记为 Ω。
样本空间 Ω 其（读：qí）实就是 普通的 集合，可以是 有限的，如：硬(练：yìng)币两面，也可以是无限的，如：雪花落点。
我们将 Ω 的子集 A 称为 事件，如果 随机试验的 结果 属于 A，我们则（繁体：則）说 A 发生了，否则说 A 没有发生。又将，随机试验的事件的全体，记为【练：wèi】 F。它是以 Ω 的子集和 为元素 的集族（我们习惯称 以集合为元素的《de》集合 为集族），例如，抛硬币有：
F = {A₀ = ∅ = { }， A₁ = {正}， A₂ = {反}， A₃ = Ω = {正， 反[练：fǎn]}}
虽然，我们不能知道 在每次随机实验中，每一个事件 A 是否发生，但是，我们可以评估 A 发生的可能性。我们用 0 到 1 的 实数表示 这种可能性，0 表示 A 不会发生，1 表示 A 一定会发生，称这个(拼音：gè)数为 A 的 概率。也就是说，对于 F 中的每个事件 A 都有 实数区间 [0， 1] 中的一个数 和 A 对应，这相当于定义了一个 从 F 到 实数区间 [0， 1] 的函数 P: F → [0， 1]，我们[men]称 P 为 概率测度，对于每个事件 A ， P(A) 就（练：jiù）是 A 的概率。例如，抛硬币 的 概率测度 为：
人们通过长期对随机试验的世界杯观察，发现概率测度 P 有如{拼音：rú}下特性：
- 因为 Ω 包含所有试验结果，所以 实验的结果 一定 属于 Ω，于是每次试验，Ω 事件 一定发生，即：P(Ω) = 1；
- 因为 ∅ 不包含任何元素，所以 实验的结果 一定不属于 ∅，于是每次试验，∅ 事件 一定不发生，即：P(∅) = 0；
- 如果 事件 A 分割为一列子事件 A₁， A₂， ... ，即，A = A₁ ∪ A₂ ∪ ...， A_i ∩ A_j = ∅ (i ≠ j)
则 A 概(练：gài)率 等于 所有 子事件 的 概率lǜ 之(读：zhī)和，即：P(A₁ ∪ A₂ ∪ ...) = P(A) = P(A₁) P(A₂) ...
这称为 可列可(拼音：kě)加性极速赛车/北京赛车。例如，抛硬币中，有：
P(A₁∪ A₂) = P(A₃) = 1 = 1/2 1/2 = P(A₁) P(A₂)
- 事件 Ω 属于 F；
- 如果 事件 A 属于 F，则 A 的补事件，即，A 的补集 Aᶜ = ΩA 也属于 F；
由于 ∅ 是 Ω 的补事件，而 Ω ∈ F，所（suǒ）以 ∅ ∈ Ω，这匹配 P 的 特性 2。
- 如果 事件序列 A₁， A₂， ... 属于 F，则 这些事件的合并事件 A = A₁∪A₂∪ ... 也属于 F；
我们称，满足【读：zú】 以上条件的 集族 F 为 σ 域，F 中的元素 称为 可测{pinyin：cè}集 （事件都是可测集），称 (Ω， F) 为 可测空间，另外，称 (Ω， F， P) 为 概率测度空间。
对于实数集 R，包含 R 中全体开区间的，最小的 σ 域，称{繁体澳门博彩：稱}为 布莱尔集，记为 Bʀ。此定义可以扩展为 R 的任意区间，因此，对于雪花落点，有:
F = Bʟ ， (L = [0， L])
两个 可测空间 (Ω， F) 和 (S， M) 之间的映射 f: Ω → S，如果满足 条件：
- 对于任意 B ∈ M，都有 B 的原像集 f⁻¹(B) ∈ F
从 (Ω， F) 到 (R， Bʀ) 的可测映射 g: Ω → R，称为 g 为 可测函数，如果，将 可测[繁体：測]空间 (Ω， F) 升级为 概[练：gài]率空间 (Ω， F， P) 则 可测《繁：測》函数 g 就是 随机变量，记为，X = g。
为什么要这样定(dìng)义随机变量呢？
对于任意实数 x，考虑 实数区(繁：區)间 (-∞， x]，因为 (x， ∞) 是 R 的开区间，因此 (x， ∞) ∈ Bʀ，而 (-∞， x] 是 (x， ∞) 的补集，所以 (-∞， x] ∈ Bʀ，这样根据 上面条件，就有[读：yǒu]：
X⁻¹((-∞， x]) = {ω ∈Ω | X(ω) ≤ x } ∈ F
于是 X⁻¹((-∞， x]) 是 一个事件，记为{pinyin：wèi}， X ≤ x， 它的【读：de】概(pinyin：gài)率就是 P(X ≤ x)。
又因 x 的任意性，于是可以定义（繁：義） 函数：
F(x) = P(X ≤ x)
称 F 为 随机{pinyin：jī}变量 X 的 概(gài)率分【练：fēn】布函数。概率分布函数 F 是一个 单调递增函数，并且有：
如果存在{练：zài} 函数 f(x) 使得：
则称，f 是 X 的 概率（读：lǜ）密度函数。
例如，对于 投硬币，函数 X: Ω = {正，反fǎn } → R；正 ↦ 1， 反 ↦ 0，是一《pinyin：yī》个 随机变量，其概率分布函数为阶梯函数：
其概率密度函数为（繁：爲）两个冲激：
绘制成图如(澳门威尼斯人拼音：rú)下：
对于，雪xuě 花落点，概率测度可以定义为：
这个种概率测度称为 勒贝格测度， 函数 X: Ω = [0， 1] → R x ↦ x，是一个 随机变量，其概率分fēn 布函数(繁：數)为：
其概率lǜ 密度函数为：
绘制成图如{rú}下：
关于集合 Ω 中的 任意 事件 A，我们可以定义 A 的指示函数 ：
这样以来，投硬币 和 雪花落点 的 随机变量 分别[繁体：彆]可以表示为：
X(x) = 1χᴀ₁(x) 0χᴀ₂(x)
和
X(x) = (1/L)χ_Ω
我们称，这样的，可以用 指示函数 表示的 函数（繁：數），为 简单函数。
设，概率空间 (Ω， F， P) 上的一个 随(suí)机变（繁：變）量 X 是 简单函数，即，可表示为【练：wèi】：
则，对(繁体：對)于任意事件 A ，称，
为 X 在 A 上的 勒贝格积分。如果{练：guǒ} X 不是shì 简单函数，则定义 勒贝格积分 如下：
当 Ω = R ， P为勒贝格测度【练：dù】 P([a， b]) = P((a， b)) = P((a， b]) = P([a， b)) = b - a，A = [a， b] 时，勒贝格积分 就是 我们熟悉《xī》的 黎曼积分，即，
我们称 随机变量 X 在 事件 Ω 上的 勒贝格积分 为 X 的 数学期望(pinyin：wàng)，记为：
例如，对于 投硬币 和 雪花落点 随机变量 X 的数(繁体：數)学期望分别是：
E(X) = 1P(ᴀ₁) 0P(ᴀ₂) = 1/2
和(读：hé)
E(X) = 1/LP(Ω) = 1/L
◆就离散型随机变量 X 来(繁：來)说， Ω 一定有限【练：xiàn】，不妨设 Ω = {ω₁， ω₂， ...， ω_n}，于是{shì} X 可表示为：
X = x₁χ_{ω₁} x₂χ_{ω₂} ... x_nχ_{ω_n}
又设，概《读：gài》率测度为 :
P(ωᵢ) = pᵢ
进而，X 的 数学期(读：qī)望为：
E(X) = x₁P({ω₁}) x₂P({ω₂}) ... x_nP({ω_n}) = x₁p₁ x₂p₂ ... x_np_n = ∑ xᵢpᵢ
这就【练：jiù】是 浙大版《概率论与数【pinyin：shù】理统计》中关于离散型随机变量的数学《繁体：學》期望的定义。
◆而对于连续型随机变量 X，上面的那个 勒贝格（练：gé）积分 的 数学（繁体：學）期望的定义，并不好计算，因此我(pinyin：wǒ)们想办法将其转换为 黎曼积分：
首先，设 g: R → R 是 (R， Bʀ) 上的可测函数，考虑[繁：慮] 随机变（繁体：變）量 X: Ω → R 和 g 的复合函数 gX: Ω → R， (gX)(x) = g(X(x))，显然 gX 依然是（shì）一个 随机变量，所以 其 数学期望 E(gX) 存在。
另一方面，观察【读：chá】 X 的概率分布函数 F(x) = P(X ≤ x): R → [0， 1] ，令：
F([a， b]) = F((a， b)) = F((a， b]) = F([a， b))) = F(b) - F(a)；
F(I₁ ∪ I₂ U ... ) = F(I₁) F(I₂) ... （区间序列 Iᵢ 两两不相交(拼音：jiāo)）；
则有(pinyin：yǒu)：
- F(R) = F(( ∞， ∞)) = P(X ≤ ∞) - P(X ≤ -∞) = P(Ω) - P(∅) = 1；
- F(∅) = F([0， 0]) = P(X ≤ 0) - P(X ≤ 0) = 0；
数学家证明了，上面的两个 数学【pinyin：xué】期望相等，即，
并且，当 f(x) 是 F 的概率[pinyin：lǜ]密度函数时，有：
再令，g(x开云体育) = x，则 gX = X，于是我们最终得到，黎曼积分下的《读：de》数学期望公式：
这就是，浙大版《概（gài）率论《繁：論》与数理【拼音：lǐ】统计》中关于连续型随机变量的 数学期望的定义。
好了，到此我们就算将数学期望的概念彻底搞清楚了：
数学期望就是 随机变量liàng X 在 整个样本空间 Ω 上 关（繁体：關）于 概率测度 P 的 勒贝格积分，表征[繁体：徵]，随机变量 X 的平均值！
(最后，小石【读：shí】头数(繁：數)学水平有限，出错在所难免，关于各位老师同学批评指正！)
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