复数的本质是什么？复数作为实数的一种延伸，有着悠久的历史。它曾被称为虚构的。直到18世纪初，在demover和Euler的大力推广下，数学家们才逐渐接受复数，理解复数需要一点时间，但并不复杂，而且它还能画出非常漂亮的变换和分形图形，这次，让我们用图形化的方式来理解这个概念
复数的本质是什么？
复数作为实数的一种延伸，有着悠久的历史。它曾被称为虚构的。直到18世纪初，在demover和Euler的大力推广下，数学家们才逐渐接受复数，理解复数需要一点时间，但并不复杂，而且它还能画出非常漂亮的变换和分形图形，这次，让我们用图形化的方式来理解这个概念。复数，作为澳门银河实数理论的延《yán》伸
让我们先看看实数轴上两个数的加、减（繁：減）、乘、除四种运算。观察到两个红蓝点（数字）在不同计[繁：計]算下结果（绿点）的变化，无论数字如何【pinyin：hé】变化，总是落在数字轴上（除法分母为0时，[当然没有意义
]下图中，任何实数乘以-1的结（繁体：結）果都会【练：huì】落下关于原点的相应对称位置。因此，乘以-1的计算可以理解为点（数）绕原点旋转半圈。
数学家进一步认为，既然《pinyin：rán》乘以-1会旋转180度，那么me 它在哪里只旋转90度（例如整数1）并下（pinyin：xià）降？它的意义是什么？
进入《拼音：rù》新的二维复平面
这是19世{shì}纪数（繁：數）学史上非【练：fēi】常重要的一步。现在它不是在一维实数轴上，而是在二维复平面上，考虑到两个90度的旋转正好达到-1，我们认为-1的平方根是一个90度的旋转，对应于1（即1*I*I=-1），这样的话，垂直于平面上实数轴的单位线段称为虚单位I。因此，它具有以下特性：实数轴上的这一《练：yī》点并不奇怪，实际上落在复平面（或algon平面）上。复平面上的所有数都满足Z=a，bi的结构，称为复数
其中a称为实部，B称为实部，如图1所示，2I为复数，1和2为实数，I为虚单位。这样一个【pinyin：gè】复平面的几何表示如下图[繁：圖]所示：
现在笛卡尔坐标平面是二维的，需要两个数字（x，y）来描述任意点的位置，但现在一个复数就足够(繁：夠)了，可以用实数组（a，b）来表示复数，而且可以画在复杂的平面上。但是请记住，每一个这样yàng 的点都应该被看作一个复数而不是一对实数。
有【yǒu】三个新的概念要知道：
复数（繁体：數）的模（通常写为| Z |）：模是它的长度R：从原点到Z点的距离
参数（通常写为Arg（Z））：参数φIt是复数与{pinyin：yǔ}实轴的夹角
复数的共轭（通常写为´z）：共轭是A-B I的形（练：xíng）式
观察下图可以更好地理解以上三个概念：
复(繁体：覆)数的运算
复数的运《繁：運》算方式，例如，它可以成对相加，即两个复数的实部和虚部可kě 以分别相加，可视为平移运算。
复数也可以乘(拼音：chéng)以若干个数，即放大或缩小模：
复数的乘法，如上所述，数《繁：數》字乘以I等于旋转90°：
Z1*Z2两个复数的乘法实际上是旋转和展开的两【练：liǎng】个变换，即两个复数乘以模（展开大小），如果你对图片中的每个点做复数变换，你可以得到各种有趣的平面（繁：麪）变换图像。在这里，为了纪念欧拉神，以他老人的头为例，做两个I-旋转90°，同时放大2倍的函数变换，另一个[繁体：個]变换函数是立方的，你也可以想想为什么它会变成这个形状？：-）
最美的数(shù)学公式欧拉公式
复平面上的一个点可以变换成极坐标（R，θ）的形式，那么这个点所代（pinyin：dài）表的复数澳门银河是什么？我们可以把x=R cos（θ）和y=R sin（θ）变换成笛卡尔坐标。所以极坐标（R，θ）表示复数
z=x iy=R cos（θ）I R sin（θ）。
特《练：tè》别是如果R=1，那么z=cos（θ）I sin（θ）的复数
如re^（Iθ）是极坐标形式，对应的x iy是笛卡尔形式，瑞士数学家欧拉《练：lā》给出了著名的欧拉公式，它适用《pinyin：yòng》于所有实数（繁：數）θ：
特别是当θ=π时，欧拉公(pinyin：gōng)式的特殊形式被评为数学上最美的公式：
这个简【繁：簡】明的公式包括数学上最重要的五个常数：0，1（自然数的基本单位），澳门威尼斯人e（描述变化率的自然指数），π和I（虚数的基本单位）
我们可以用几何方法快速地证明这个方程。观察极坐标e^θ，对应下图中θ的不同值。请注意动画的停顿（特别是（shì）当复杂平《píng》面的旋转角度为180°，点落在-1时），相信您会理解上面的欧拉方程：
参考资《繁体澳门金沙：資》料：
阿(读：ā)德里安·本纳，普林皇冠体育斯顿微积分读本（修订版）https://betterexplained.com/articles/a-visual-intential-guide-to-imaginal-numbers/
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