为何正交矩阵一定可以对角化？（小石头尝试着来回答这个问题）非常遗憾，正交矩阵不一定可以对角化，为什么呢？首先，我们知道，一个 n 阶 方阵 A 可以对角化的充要条件是：1. 特征值有且仅有 n 个（可以重复）2. 对于 每个 特征值 λᵢ，设 sᵢ 是它的重复数，则 r(A - λᵢE) = n-s；方阵 A 的特征值是 特征方程 |A - λE| = 0 这个 一元n次多项式方程的根
为何正交矩阵一定可以对角化？
（小石头尝试着来回答这个问题）
非常遗憾，正交矩阵不一（拼音：yī）定可以对角化，为什么呢？
首先，我们知道(拼音：dào)，一个 n 阶 方阵 A 可以对角化的充要条件是：
1. 特征值有{练：yǒu}且仅有 n 个（可以重复）
2. 对于 每个 特征值(zhí) λᵢ，设 sᵢ 是它的重复数，则 r(A - λᵢE) = n-s；
方阵 A 的特征值是 特征方程 |A - λE| = 0 这个 一元n次多项式方程的根。根据高等代数基本定理，一元 n 次多项式方程，在复数域 C 内必然有{yǒu} n 个根（包括重根[pinyin：gēn]）。因此，只有保证 条件2 就可以保证 复数方阵【练：zhèn】 一定可以对角化。
然而，正交矩（繁体：榘）阵 A 定义为：
在实数域{拼音：yù} R 上，如果 n 阶 矩阵 A 满足 AAᵀ = E，即（拼音：jí），A⁻¹ = Aᵀ，我们称 A 为 正交矩(拼音：jǔ)阵。
这个定义说明，正交矩阵是 实数域yù R上，于是就要求其特征值必须是实数。而，我们无法保证 正交矩阵的特征方程的n个根 一定都是实数。进{pinyin：jìn}而，也无法保证 条件1，即，A 一定有{练：yǒu}n个实数根，来构成对角化矩阵，于是也就无法保证 A 一定可以对角化。当然，更谈不上 条件2 了。
另一方面，n 维向（繁：嚮）量空间 Rⁿ 上定义了 内积 后就称为 欧氏空间，设
e₁， e₂， e₃， ...， e_n
是欧氏空间 Rⁿ 的《练：de》一组基，又设， Rⁿ 中（练：zhōng）向量 a， b 在 这组基下的坐标 分别[繁：彆]是 X 和 Y，则有：
(a， b) = XᵀGY
其【练：qí】中，
称【繁体：稱】为，度量矩阵。
当（读：澳门威尼斯人dāng） e₁， e₂， e₃， ...， e_n 是标准单位正交基时，
这[繁：這]时，对于任意 娱乐城向量 a， b 以及正交矩阵A 有：
(Aa， Ab) = (AX)ᵀE(AY) = (AX)ᵀ(AY) = (XᵀAᵀ)(AY) = Xᵀ(AᵀA)Y = XᵀEY = XᵀY = (a， b)
即，得到性质[繁：質]：
(Aa， Ab) = (a， b)
如{pinyin：rú}果，欧氏空间 Rⁿ 上的线性变换 A 也满足上面的性质，即，
(Aa， Ab) = (a， b)
我们就称 A 是正交变换。
澳门新葡京由于，正交变换 A，是定义在欧氏空间 Rⁿ 上的线性变换，因此，这就【读：jiù】必然要求 A 在任何基下对应的矩阵是 实数矩阵。所以这就，反过要求， A 对应的 正交矩阵 A 的对角线化 矩阵 必须是实数的。
最后，将正交矩阵扩展到 复数域世界杯，就是 酉矩阵。那么[繁：麼]，酉矩阵一定可以对角化吗？
（小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师同学，批评指正！）
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