数学旋转综合题 有谁知道比二次函数综合题思《sī》维难度还要大的中考压轴题？

有谁知道比二次函数综合题思维难度还要大的中考压轴题？距离中考不到100天，许多同学也已经进入最后一轮复习。集中精力攻克一些重难点，是眼下拔高成绩的关键。但很多同学表示，中考数学中难度大、分值高的压轴题，是一块非常难啃的硬骨头，解答压轴题时，往往信心不足，往往每写出来第一小问，下面两问思路不畅，就举手投降了

有谁知道比二次函数综合题思维难度还要大的中考压轴题？

我们知道，在中考这样的大型考试中，多一分就能超过数(繁：數)人，更别说十shí 几分。尤其是对于目标考到130分以上的同学来说，这道关键题是必须要拿下的！

导【dǎo】语

纵观五年各省市中考压轴题，除了大多也以二次函数为背景框架的压轴题外，也出现很多以几何综【繁：綜】合与探究型的形式出现，它《繁：牠》以基本几何图形为背景，在动点或者图形变换中涉及三角形性质、判定、全等、相似或特殊的平行四边形等知识。主要涉及的类型有：运动产生的线段、面积、等腰三角形、直角三角形、特殊四边形问题。主要考查学生综合运用知识的能力，其思维难度高方法灵活。

综合与探究题作为考试的一《yī》个重要考察点，综合了几何的知识，再涉及动态变化，函数的极值问题。对学生的分析判断、推理论证、空间观念和探究能力都有较高的要求，考查了学生的数学[繁：學]综合应用能力，符合课标要求。

几何综合(hé)与探究题的题型

几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应[繁体：應]用数[繁：數]学知识解决实际问题的能力。以几何为主的{de}综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：

①.证明线段（pinyin：duàn）、角的数量关系（包括相等、和、差（练：chà）、倍、分及比例关系等）；②.证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆位置关系（繁体：係）等）；③.几何计算问题；④.动态几何问题等。

（1）几何型综合题tí ：

主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设与结论之间的关《繁体：關》系较隐蔽，常常需要添加辅助(zhù)线来解答。将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决（读：jué）。

例1.（2019•淄博中考题）如图1，正方形ABDE和BCFG的{练：de}边AB，BC在同一条直线上，且{练：qiě}AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．

（1）试证明DM⊥MG，并求MB/MG的值[拼音：zhí]．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中MB/MG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．

【解析】（1）如图1中，延长DM交FG的延长线于H．证明△DMG是等腰直角三角形即可，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2√2a，BF＝√2a，求出BM，MG即可《读：kě》解（读：jiě）决问（繁：問）题．

（2）（1）中MB/MG的值有变化．如图2中，连接BE，AD交于点（繁：點）O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．首先(xiān)证明O，G，F共线，再证明点M在直线AD上，设BC＝m，则AB＝2m，想办法求出BM，MG（用m表示），即可解决问（繁：問）题．

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会{练：huì}添加常用{练：yòng}辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

例[pinyin：lì]2．（2019•襄阳中考题）（1）证明推断：如{rú}图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上【练：shàng】，GF⊥AE．

①求(qiú)证：DQ＝AE；

②推tuī 断：GF/AE的值为 ；

（2）类[繁：類]比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BC/AB＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点[繁体：點]H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓tà 展应用：在（2）的条件下《pinyin：xià》，连接CP，当k＝2/3时，若tan∠CGP＝3/4，GF＝2√10，求（pinyin：qiú）CP的长．

【解析】（1）①由正{拼音：zhèng}方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO ∠OAD＝90°，又知∠ADO ∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得【读：dé】AE＝DQ． ②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．

（2）结论：FG/AE＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．证[繁体：證]明：△ABE∽△GMF即可【拼音：kě】解决问题．

（3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用《练：yòng》相似《pinyin：shì》三角jiǎo 形的性质求出PM，CM即可解决问题．PC＝9√5/5．

【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的《pinyin：de》性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的【de】判定和性质《繁：質》，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

（2）分类讨（繁：討）论问题：

分类讨论问题主要考查分类讨论的数学思想，常见的类型有：等腰三角形(拼音：xíng)、直角三角形、相似三角形，平行四边形#28矩形、菱形、正方形）。有些题目在分类讨论列方程求解后，还要检验，排除干(繁：幹)扰。

例3.（2019•湘潭中考题）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩（繁：榘）形ABCD，AD＝5√3，CD＝5，点M是线段AC上一(yī)动点（不{拼音：bù}与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．

（1）求[读：qiú]∠CAD的大小；

（2）问题探究：动点M在运(繁：運)动的过程中，

①是否能使△AMN为等腰三角形，如[pinyin：rú]果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说【练：shuō】明理由．

②∠MBN的大dà 小是否改变？若不改变[繁：變]，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决(繁：決)：

如图二，当动点M运动《繁：動》到AC的中点时（繁体：時），AM与BN的交点为F，MN的中点[拼音：diǎn]为H，求线段FH的长度．

【解析】（1）在Rt△ADC中，求出∠DAC的正切值即可解【读：jiě】决问题．∠DAC＝30°．

（2）①分两种【繁：種】情形：当NA＝NM时，当AN＝AM时，分别求解即可．

②∠MBN＝30°．∵∠BAN ∠BMN＝180°，∴A，B，M，N四点共gòng 圆（繁体：圓），利[拼音：lì]用四点共圆解决问题即可．

综上所述，可求满足条澳门银河件的CM的值为5或(huò)5√3．

（3）首先证明△ABM是等边三角《读：jiǎo》形，再证明BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可(pinyin：kě)解决问题．可kě 求FH＝5√3/6．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩澳门威尼斯人形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定《dìng》和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题

#283#29最值【拼音：zhí】型问题：

这类题则需要根据条件，利用几何形状，利用几何变换进行转《繁：轉》换，或创设函数，利用函数性（读：xìng）质(zhì)（一般是一次函数、二次函数的增减性）求解。同时注意求最值时要注意自变量的取值范围。

例4.（2019•贵港中（练：zhōng）考题）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点[繁：點]C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交《练：jiāo》于点E．

（1）如图1，当《繁体：當》∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．

①写出{pinyin：chū}旋转角α的度数；

②求(读：qiú)证：EA′ EC＝EF；

（2）如【pinyin：rú】图2，在（1）的条件下（拼音：xià），设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝√2，求线段PA PF的最小值．（结果保留[pinyin：liú]根号）

【解析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．旋转角为（读：wèi）105°．

②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CFA′是（pinyin：shì）等边三角(读：jiǎo)形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．

（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出PA PF＝PA PB′≥AB′，求出（繁：齣）AB′即可解[练：jiě]决问题．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定澳门银河和性质，三角形的三边关系等知《练：zhī》识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

解这《繁：這》类问题《繁：題》要注重在图形的形状或位置的变化过程中寻找函数与几何的联系，需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题(繁：題)，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。

求解压轴几何问（繁体：問）题的策略

#281澳门金沙#29课本知识系《繁：係》统化

立足基础知识，要充分体现教材的基础作用，深入挖掘教材的考评价值。这类压轴题所（pinyin：suǒ）考察知识点源于课本，都能在初《chū》中数学课本找到原型，复习要注重对这些原型的加工、组合、类[繁：類]比、改造、延伸和拓展，使分散在各章节的知识点一一过关，形成知识系统，为解这类压轴题奠定知识基础。

#282#29解jiě 题思路经验化

探索解题思路的规律，形成解题经验。在综合复习过程中，要揭示获取知识的思维学生在学习过程中展开思维，形成能力。解综合与探究题要求学生全《拼音：quán》面、熟练【繁体：練】地掌握学过的数学知识、联系条件，发展条件，依经验迅速确定解题的方向和方法。

解决几何综合题，需要厚积而薄发。所谓的“几何感觉”，是建立在足[读：zú]够的知识积累的基础上的。熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到dào 特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学（繁体：學）知识来解决问题。在中档几何题目教学中，注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。

①.与相似及【读：jí】圆有关的基本图形。

②.正方形《xíng》中的基本图形。

③.基本辅助线(繁体：線)。

a.角平分线【繁体：線】——过角平分线上的[pinyin：de]点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折。

b.与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线[繁：線]，直角三角形斜边中线。

c.共端点（读：diǎn）的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆。

d.垂直平分线【繁体：線】，角平分线——翻折。

e.转移线段——平移基本图形《pinyin：xíng》（线段）线段间有特殊关系时，翻折。

#283#29思想[练：xiǎng]方法渗透化

几何综合与探究题渗透了数学的重要的思想方法，不能以解决问题作为教学的终结点，应将数学思想方法渗透在整个教学过程中。它应以例题、习题为（读：wèi）载体，在学好基础知识的同时掌握数学的思想方法，并通过不断的积累、运[繁：運]用，内化为自己的知识经验，以此应对千变万化的各种类型的压轴题。

①.注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基【读：jī】本图形，通过添加辅{pinyin：fǔ}助(zhù)线补全或构造基本图形。

②.掌握常规的证题(繁：題)方法和思路。

③.运（繁：運）用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题。还要灵活运用数学(拼音：xué)思想方法伯数形结合(繁：閤)、分类讨论等）。

#284#29解题{pinyin：tí}训练常规化

几何综合与探究题的解题能力的提升是一个渐进的过程，绝不是在[练：zài]两三周就可以{读：yǐ}做到的。应把解题能力的提升贯穿于整个数学备考过程，让学生对二次函数压轴题经历从害怕——尝试——熟悉——自信的过程。

#285#29解题格(gé)式规范化

有部分学生因解题过程不规范，证明时语言不准确而失分，十分可惜。在复习过程中，要建立数常见《繁：見》题型的书写模型，明确哪些过程可以简化，哪些关键的步骤是不可少的，多加练习形成（读：chéng）固定模式。

#286#29要学会抢得分【拼音：fēn】点

综合与探究题一般在（拼音：zài）大题下都有两至三个小题，难度是逐渐递增，因此，我们在解答时要把第1小题的de 分数一定拿到，第2小题的分数要力争拿到，第3小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。

一点感悟及建(jiàn)议

在最后(繁体：後)一段时间内，要（拼音：yào）选做一些能代表命题方向的题目，要引导学生对解题过程、结果进行反思，以下几个方面需重点关注：

（1）试{练：shì}题结构；

（2）解题过程运用了哪{pinyin：nǎ}些基础知识与基本技能，哪步易错，如何防止；

（3）对解题的方法重新评估，以期找（拼音：zhǎo）到最优解法；

（4）对题目的重要步骤进行分析，抓【拼音：zhuā】住关键{练：jiàn}，考虑难点之处如何突破，能否用别的方法导出结果，哪一种方法是最高效的；

（幸运飞艇5）对问题的条件和结论进行变换，使问题系统{繁：統}化。

数【pinyin：shù】形结合记心头，大题小作来转化，

潜在条件不能忘，化动为[繁：爲]静多画图，

分类讨论要严密，方程函[练：hán]数是工具，

计算推理要严谨，创[繁体：創]新品质得提高。

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