偏导数的背景？在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。引入： 在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率
偏导数的背景？
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所[练：suǒ]有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微wēi 分[拼音：fēn]几何中是很有用的。
引入《练：rù》：
在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不(bù)同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的(pinyin：de)，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的(拼音：de)变化率。
在这里我们只学习函数f#28x，y#29沿着平行[读：xíng]于x轴和平行于y轴两(liǎng)个特殊方fāng 位变动时，f#28x，y#29的变化率。
偏piān 导数的算子符号为:∂。
偏导数反[拼音：fǎn]映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
偏导数的四则运算法则？
定义2. 1 设函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29的【pinyin：de】某一邻域内有定义当y固定在y0 而x在x0处有增量x时相应地函数有增量[pinyin：liàng] f#28x0x，y0#29f#28x0，y0#29
如果【读：guǒ】
#29处对x的偏导数记【练：jì】为
即（练：jí）
。
同理可定义函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29处对y的偏【拼音：piān】导数为
.
即{拼音：jí}
。
1
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高等数学下册讲稿 第四章 数学【练：xué】分析教研室
如果函数zf#28x，y#29在区域D内任一点#28x，y#29处对x的偏《拼音：piān》导数都存在那么这个偏导数就是x、 y的函数它就称为函数zf#28x，y#29对自变量x的偏导函【pinyin：hán】数简称偏导数记作
.
同理可以定义（繁体：義）函数zf#28x，y#29对自变量y的偏导数记作
.
偏导数的概念可(kě)以推广到二元以上函数
如uf#28x，y，z#29在#28x，y，z#29处[繁：處]
2、计算
从偏导数的定义可以看出计算多元函数的偏导数并不需要新的方法若对某mǒu 一个自变量求【读：qiú】导 只需将其他自变量常数 用一元函数微分法即可。 于是一元函数的求导公式和求导法则都可[练：kě]以移植到多元函数的偏导数的计算上来。
例1求zx23xyy2在点#281，2#29处的偏导数[繁：數]
解{练：jiě}法一
.
解(jiě)法二 z
z x113yy
这澳门新葡京里我们要{yào}知道有时 “先求偏导函数再代值求某点的偏导数”不一定简便。如下例
例{lì}2 f#28x，y，z#29x
.
解【pinyin：jiě】:
.
例3 已知理想气体的de 状(繁：狀)态方程pVRT R为（繁：爲）常数求证 pVTVpT1 .2
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分{pinyin：fēn}析教研室
证《繁体：證》明 p
.
有开云体育《练：yǒu》关偏导数的几点说明
1、 偏{练：piān}导数
是一个整体记《繁体：記》号不能拆分
2、求分界点、不连续点[繁体：點]处的偏导数要用定义求
例如《练：rú》，zf#28x，y#29 xy，求
.
娱乐城解《pinyin：jiě》
.
例4设(繁：設)f#28x，y#29
#29的偏导数(繁：數)。
解当#28x
当#28x，y#29#280，0#29时，按定义可《kě》知
，
，
故gù
.
、偏【拼音：piān】导数存在与连续的关系
一元函数中在【读：zài】某点可导 函数在该点一定连续但多元函数(繁体：數)中在某点偏导数存在 函[练：hán]数未必连续.
例如[练：rú]
#29处fx#280，0#29fy#280，0#290.但{练：dàn}函数在该点处并不连续.
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高等数学下册讲稿 第四章 数学[繁：學]分析教研室
4、偏导《繁体：導》数的几何意义
设M0#28x 0，y 0，f#28x 0，y 0#29#29 是曲面zf#28x，y#29上一点则（读：zé）
偏导数fx#28x0，y0#29就是曲面被平面yy0所截得的曲线在点M 0处的切线M0 Tx对x轴的斜率偏导数fy#28x0，y0#29就是曲面被平面xx0所截得的曲线在点M0处的切线（繁体：線）M0Ty对y轴的【练：de】斜率.
二（èr）、高阶偏导数
设函数zf#28x，y#29在区《繁：區》域D内的【de】两个偏导数fx#28x，y#29 、 fy#28x，y#29的偏导数也存在则称它们是函数zf#28x，y#29的二阶偏导数。记作
#29
#29
定义二（pinyin：èr）阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例(拼音：lì)5设z
.
解(读：jiě)
.
例(lì)6设ueax cosby求二阶偏导数.
解(jiě)
问题混合偏导数都相（练：xiāng）等吗
例（练：lì）7设f#28x，y#29
.
解jiě 当#28x，y#29#280，0#29时，
4
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室[练：shì]
，
当#28x，y#29#280，0#29时按定义可知
，
，
显然（练：rán）fxy#280，0#29fyx#280，0#29.
问题具备怎样的条件jiàn 才能使混合偏导数相等
定理2. 1 如果函数zf#28x，y#29的两个gè 二阶混合偏导数
内连续那末在该区域内这两个《繁：個》二阶混合偏导数必相等
例8验证[拼音：zhèng]函数u#28x
.
证澳门新葡京明《míng》 ln x
，
证毕《繁：畢》.
内《繁：內》容小结:
1.偏《读：piān》导数的定义偏增量比的极限
2.偏导数的计算、偏导数的几何意义（繁体：義）
3.高阶偏导数纯(繁：純)偏导混合偏导及其相等的条件.
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