数数[繁体：數]下图有多少个三角形

下面的图形中有几个三角形？一共17单片：62片：7（左右3，上下4)3片：2（左右各1）4片：16片：1下面图形中有三角形几个？图1有2个小三角形，共有2 1=3个三角形；图2有3个小三角形，共有3

下面的图形中有几个三角形？

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一个自然的问题是： 给一个正有理数n，是否存在面积为n的有理三角形？

我们可[pinyin：kě]以做一些简单的观察：

①由于可同时伸缩亚博体育边长【练：zhǎng】，只需考虑 。

②取两个有理直角三角形，若它们某直边长度一样，则可将两三角形沿此边拼成一个大的有理三角形，或将《繁体：將》较长的三角形沿此边去掉另一个三角形得到一个小的钝{pinyin：dùn}角有理三角形，面积均为有理数。（由余弦定理易知{练：zhī}，任何面积有理的有理三角形都可如此得到）

③ 对大于（繁体：於）1的有理数 ，考虑边长 的直角三角形，面积为 。

推论：对于非零有yǒu 理数r，s，只要 就存在面积为K的有理三角形。

Pf：若r，s>1，则用②相加，若0

根澳门银河据[繁体：據]①，下面只需证明：

至多相差一个【练：gè】有理数的平方， 上述形式的K可取到任何正有理数。

Pf（Fine）：任给正有理数k幸运飞艇，考虑 ，有理数x待【拼音：dài】定。代入有：

只需要右边（读：biān）是平方数，就可知K可取到k（差一个平方），即证。

记 为我{pinyin：wǒ}们需要的平方数，y待定。为了消《练：xiāo》去右边的平方项，自然设 ，a待定。我们希望最后得到x的方程比较简单，对比可知应取a使得 中{练：zhōng} 的项系数 为0，即取 ， 。

代入rù ，解得

综上，对任何正有理(拼音：lǐ)数k，令 ，其中 ，则K(差一个有理数的平方)=k。于【pinyin：yú】是我们证明(练：míng)了：

1.任给一个正zhèng 有理数n，存在一个面积为n的有理三角形。

继续我们的讨论，一个自然的问题(繁体：題)是：这样的有理三角形是否唯一？

可以直接验证对于(繁：於)k>2，边长为 的三【读：sān】角形面积也是k，这说明并不唯一，通过伸缩（ks^2 to k）我们得到：

2.澳门银河任给一个正有理数《繁体：數》n，存在无穷多个面积为n的有理三角形。

例：上述公式取k=1，边长为5/3， 17/6， 3/2的有理【读：lǐ】三角形面积是1

比起不知来自何处的公式，利用椭圆曲线可给出一个解释[繁：釋]。

类似同余（读：yú）数问题，面积为n（mod 有理数的平方）的有理三角形将对应一族椭圆曲线 上的非2阶的有理点（t跑遍非零有理数，t=1则对应的三角形是直角三角形）具体对应《繁体：應》为(繁：爲)（Heron Triangles via Elliptic Curves）

而这族椭圆曲线的挠点有较好的控制（注意它们都有4个2阶点，故根据B. Mazur的工作挠部分的有理（lǐ）点只能是 或 ，根据简单的分析可排除3，6，8阶挠点），挠部分只能有2阶点和4阶点。现在只需先构造zào 一个面积为n的有理三角形，使它对应的【拼音：de】点P不是特殊的4阶点，那么就无挠，则P的不同倍给出不同的面积为n的有理三角形。

注：根据海伦公式 ，考虑(拼音：lǜ)三角形的内切圆则a，b，c由p，q，r表出，更好的问题应该是：对于哪些有理数C， 中的四次曲面 （关《繁体：關》于p，q，r）

澳门银河有有理(读：lǐ)点？

上面的结论表明C取有理数的平方时， 有无数有理点（且p，q，r>0），其论证可推广到{pinyin：dào}任何正有理数C的情【读：qíng】形。而公式解中各变量是k的有理函数，几何来说是指曲面 包含亏格为0的曲线；椭圆曲线的解法表明， 包含正rank的椭圆曲线。

这一系列问题得到了很好【pinyin：hǎo】的解决，大概是因为 （的射影化）是K3曲面并且 足够对称（有好的自同构）。在这方面有一个project是专门【练：mén】研究K3曲面的算术，比如著名的费马曲面 ，又比如Ronald van Luijk有一篇文章An elliptic K3 surface associated to Heron triangles，是用K3曲面的理论得到存在无穷多个面积、周长都为给定值的海伦三角形（边长、面积(繁体：積)均为《繁体：爲》整数），但这方面我不甚了解，故暂且打住。

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