复数意(练：yì)义何在

复数的本质是什么？复数作为实数的一种延伸，有着悠久的历史。它曾被称为虚构的。直到18世纪初，在demover和Euler的大力推广下，数学家们才逐渐接受复数，理解复数需要一点时间，但并不复杂，而且它还能画出非常漂亮的变换和分形图形，这次，让我们用图形化的方式来理解这个概念

复数的本质是什么？

复数作为实数的一种延伸，有着悠久的历史。它曾被称为虚构的。直到18世纪初，在demover和Euler的大力推广下，数学家们才逐渐接受复数，理解复数需要一点时间，但并不复杂，而且它还能画出非常漂亮的变换和分形图形，这次，让我们用图形化的方式来理解这个概念。

复数，作为实数理论的延伸

让《繁：讓》我们先看看{读：kàn}实数轴上两个数的加、减、乘、除四种运算。观察到两个红蓝点（数字）在不同计算下结果（绿点）的变化，无论数字如何变化，总是落在数字轴上（除法分母为0时，[当(繁：當)然没有意义

]下图中，任何实数乘以-1的结果都会落下关于原点的相应对称位置。因此，乘以{练：yǐ}-1的计算可以理解为《繁：爲》点(繁体：點)（数）绕原点旋转半圈。

数学家进一步认为，既然乘以（yǐ）-1会旋转180度，那么它在哪里只旋转90度（例《练：lì》如整（zhěng）数1）并下降？它的意义是什么？

进【pinyin：jìn】入新的二维复平面

这是19世纪数学史（读：shǐ）上非常重要的一步。现在它不是在一维实数轴上，而是在二维复平【pinyin：píng】面上，考虑到两个90度的旋转正好达到-1，我们认为-1的平方根是一个90度的旋转，对应于1（即1*I*I=-1），这样的话，垂直于平面上实数轴的单位线[繁体：線]段称为虚单位I。因此，它具有以下特性：实数轴上的这一点并不奇怪，实际上落在复平面（或algon平面）上。复平面上的所有数都满足Z=a，bi的结构，称为复数。其中a称为实部，B称为实部，如图1所示，2I为复数，1和2为实数，I为虚单位

这样（繁：樣）一个复平面的几何表示如下图所示：

现[繁体：現]在笛卡尔坐标平面是二维的，需要两个数字（x，y）来描述任意点的《练：de》位置，但现在一个复数就足够了，可以用实数组（a，b）来表示复数，而且可以画在复杂的平{píng}面上。但是请记住，每一个这样的点都应该被看作一个复数而不是一对实数。

有yǒu 三个新的概念要知道：

复数的模（通常写为| Z |）：模是它的长度【pinyin：dù】R：从原点到Z点的距离

参数（通常写为Arg（Z））：参数φIt是复数与实轴的夹【jiā】角

复数的共世界杯轭（通常写为´z）：共轭是[练：shì]A-B I的形式

观察下图可以更好地理解以上(拼音：shàng)三个概念：

复数的运(繁体：運)算

复数的运算方式，例如，它可以成对相加，即《jí》两个复数的实部和虚部可以(拼音：yǐ)分别相加，可视为平移运算。

复数也可以乘以若干个数，即放大或缩[繁体：縮]小模：

复数的乘法，如【rú】上所述，数字乘以I等于旋转90°：

Z1*Z2两个复数的乘法实际上是旋转和展开的两个变换，即两个复数乘以模（展开大小），如果你对图片中的每个点做复数变换，你可以得到各种有趣的平面变换图像。在这里，为了纪念欧拉神，以他老人的头为例，做两个I-旋转90°，同时放大2倍的函数(繁体：數)变换，另一个变换函数[繁体：數]是立方的，你也可以想想为什么它会变成这个形状？：-）

最美的数学（读：xué）公式欧拉公式

复平面上的一个点可以变换成极坐标（R，θ）的形式，那么这个[繁：個]点所代表的复数是娱乐城什么？我们可以把x=R cos（θ）和y=R sin（θ）变换成笛卡尔坐标。所以极坐标（R，θ）表示复数

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特别（繁体：彆）是如果R=1，那么z=cos（θ）I sin（θ）的复数

如re^（Iθ）是极坐标形式，对应的x iy是笛卡尔形式，瑞士数学家欧拉给出了著名的欧拉公式，它(繁：牠)适用于所有（yǒu）实数θ：

特别是当θ=π时（繁：時），欧拉公式的特殊形式被评为数学上最美的公式：

这个简明的公式包括数学上最重要的五个常数直播吧：0，1（自然数《繁：數》的基本单位），e（描述变化率的自然指数），π和I（虚数的基本单位）

我们可以【读：yǐ】用几何方法快速地证明这个方程。观察极坐标e^θ，对应下图中（zhōng）θ的不同值。请注意动画的停顿（特别是当复杂平面的旋转角度为180°，点落在-1时），相信您会理解上面的欧拉方程：

参{练：cān}考资料：