为何正交矩阵一定可以对角化？（小石头尝试着来回答这个问题）非常遗憾，正交矩阵不一定可以对角化，为什么呢？首先，我们知道，一个 n 阶 方阵 A 可以对角化的充要条件是：1. 特征值有且仅有 n 个（可以重复）2. 对于 每个 特征值 λᵢ，设 sᵢ 是它的重复数，则 r(A - λᵢE) = n-s；方阵 A 的特征值是 特征方程 |A - λE| = 0 这个 一元n次多项式方程的根
为何正交矩阵一定可以对角化？
（小石头尝试着来回答这个问题）非常遗憾，正交矩阵不一{练：yī}定可以对角化，为什么呢？
首先，我们知《pi澳门永利nyin：zhī》道，一个 n 阶 方阵 A 可以对角化的充要条件是：
1. 特征值有且仅有 n 个（可以《pinyin：yǐ》重复）
2. 对于 每澳门永利个 特征值 λᵢ，设 sᵢ 是它的重《读：zhòng》复数，则 r(A - λᵢE) = n-s；
方阵 A 的特征值是 特征方程 |A - λE| = 0 这个 一元n次多项式方程的（练：de）根。根据高等代数基本定理，一元 n 次多项式方程，在(pinyin：zài)复数域 C 内必然有 n 个根（包括重根）。因此，只有保证 条件2 就可以保[bǎo]证 复数方阵 一定可以对角化。
然(读：rán)而，正交矩阵 A 定义为：
在实数(繁体：數)域 R 上，如果 n 阶 矩阵（繁：陣） A 满足 AAᵀ = E，即，A⁻¹ = Aᵀ，我们称 A 为 正交矩阵。
这个定义说明，正交矩阵是 实数域 R上，于是就要求其特征值必须是实数。而，我们无法保证 正交矩阵的特征方程的n个根 一定《读：dìng》都是实数。进而，也无法保证 条件1，即澳门博彩，A 一定有n个实数根，来构成对角化矩阵，于是也就无法保证 A 一定可以对角化。当然，更谈不上 条件2 了。
另一方面，n 维向量空间 Rⁿ 上定义了 内积[繁体：積] 后就称为 欧氏空间，设
e₁， e₂， e₃， ...， e_n
是欧氏空间 Rⁿ 的一组基，又设， Rⁿ 中向量 a， b 在 这组基(拼音：jī)下的坐标 分(拼音：fēn)别是 X 和 Y，则有：
(a， b) = XᵀGY
其【练：qí】中，
称为，度【拼音：dù】量矩阵。
当 e₁， e₂， e₃， ...， e_n 是标准单位正交(pinyin：jiāo)基时，
G = E
这时，对于任意 向量 a， 澳门博彩b 以yǐ 及正交矩阵A 有：
(Aa， Ab) = (AX)ᵀE(AY) = (AX)ᵀ(AY) = (XᵀAᵀ)(AY) = Xᵀ(AᵀA)Y = XᵀEY = XᵀY = (a， b)
即，得《拼音：dé》到性质：
(Aa， Ab) = (a， b)
如果，欧氏空间 Rⁿ 上的线性变换 A 也满足上面的性质，即，
(Aa， Ab) = (a， b)
我（wǒ）们就称 A 是正交变换。
由于，正交变换 A，是定义在欧氏空间 Rⁿ 上的线性变换，因此，这就(pinyin：jiù)必然要求 A 在任何基下对应(拼音：yīng)的矩阵是 实数矩阵。所以这就，反过要求， A 对应的 正交矩阵 A 的对角线化 矩阵 必须是{练：shì}实数的。
最后，将正交矩阵扩展到 复数域，就是 酉澳门巴黎人矩(繁：榘)阵。那么，酉矩阵一定可以对角化吗？
（小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师同学，批评指正！）
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