偏导数的背景？在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。引入： 在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率
偏导数的背景？
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它【pinyin：tā】关于其中一个变量的导数(拼音：shù)而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
引入【读：rù】：
在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此{读：cǐ}就需要研（读：yán）究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点(繁体：點)处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习函数f#28x，y#29沿着平行于x轴和平行(读：xíng)于y轴《繁：軸》两个特殊方位变（繁体：變）动时，f#28x，y#29的变化率。
直播吧 偏导数的《练：de》算子符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐zuò 标轴正方向的变化率。
偏导数的四则运算法则？
定义2. 1 设函（读：hán）数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29的某一邻域内有定义当y固定在y0 而x在x0处(繁：處)有增量x时相应地函数有增量 f#28x0x，y0#29f#28x0，y0#29
如{练：rú}果
#29处对x的偏导数记为(繁体：爲)
即jí
。
同理可定义[繁体：義]函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29处对y的偏导数为
.
即jí
。
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高等数{练：shù}学下册讲稿 第四章 数学分析教研室
如果函数zf#28x，y#29在区域D内任一点{pinyin：diǎn}#28x，y#29处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x、 y的函数它就称【繁体：稱】为函数zf#28x，y#29对自变量x的偏导函数简称偏导数记作
.
同理可以定义函数zf#28x，y#29对自变量y的偏导数[繁体：數]记作
.
偏导数的概念可以【读：yǐ】推广到二元以上函数
如uf#28x，y，z#29在（pinyin：zài）#28x，y，z#29处
2、计(拼音：jì)算
从偏导数的定义可以看出计算多元【pinyin：yuán】函数的偏导数并不需要新的方法若对某一个自变量求导 只需将其他自变量常数 用一元函数微分法即可。 于是一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到《dào》多元函数的偏导(拼音：dǎo)数的计算上来。
例1求zx23xyy2在zài 点#281，2#29处的偏导数
解{pinyin：jiě}法一
.
解法二(pinyin：èr) z
z x113yy
这里我们要知道有时 “先求偏{piān}导函数再代值求某点的【练：de】偏导数”不一定简{繁体：簡}便。如下例
例2 f#28x，y，z#29x
.
解《练：jiě》:
.
例3 已知理想气[繁体：氣]体的状态方程pVRT R为常数(繁体：數)求证 pVTVpT1 .2
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高等数学下册讲稿 第四章 数《繁体：數》学分析教研室
证明【pinyin：míng】 p
.
有关偏导数的几点diǎn 说明
1、 偏导[繁体：導]数
是一个整体记号不能拆[练：chāi]分
2、求分界点、不连续点处的偏导数《繁体：數》要用定义求
例如，zf#28x，y#29 xy，求《读：qiú》
.
解
.
例(练：lì)4设f#28x，y#29
#29的偏《读：piān》导数。
解当(dāng)#28x
当[繁体：當]#28x，y#29#280，0#29时，按定义可知
，
，
澳门永利故{练：gù}
.
、偏导数存在与连续的关系《繁：係》
一【练：yī】元函数中在某点可导 函数在该点一定连续但多元函数中在某点偏导【dǎo】数存在 函数（繁体：數）未必连续.
例如(读：rú)
#29处fx#280，0#29fy#280，0#290.但函数在该（读：gāi）点处并不连续.
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高等数学下册（繁体：冊）讲稿 第四章 数学分析教研室
4、偏导数的几[繁体：幾]何意义
设(shè)M0#28x 0，y 0，f#28x 0，y 0#29#29 是曲面zf#28x，y#29上一点则
偏导数fx#28x0，y0#29就是曲面被平面yy0所截得的曲线在点M 0处的切线M0 Tx对x轴的斜率偏导数fy#28x0，y0#29就是曲面被平面xx0所截得(读：dé)的曲线在点M0处的【读：de】切线M0Ty对y轴(zhóu)的斜率.
二、高阶偏导数（繁：數）
设函数《繁：數》zf#28x，y#29在区域D内的两个偏导数fx#28x，y#29 、 fy#28x，y#29的偏导数也存在则称它们是(读：shì)函数zf#28x，y#29的二阶偏导数。记作
#29
#29
定义二阶及二阶（繁：階）以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例5设z
.
解[拼音：jiě]
例6设[繁体：設]ueax cosby求二阶偏导数.
解
问题混合偏导数都相《读：xiāng》等吗
例7设（繁：設）f#28x，y#29
.
解《jiě》当#28x，y#29#280，0#29时，
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，
当(繁：當)#28x，y#29#280，0#29时按定义可知
，
，
显然《练：rán》fxy#280，0#29fyx#280，0#29.
问题具备[繁：備]怎样的条件才能使混合偏导数相等
定理2. 1 如果函数zf#28x，y#29的两个二阶(繁：階)混合偏导数
内连续那末在《pinyin：zài》该区域内这两个二阶混合偏导数必相等
例8验{pinyin：yàn}证函数u#28x
.
证(zhèng)明 ln x
，
澳门新葡京证毕(繁体：畢).
内《繁体：內》容小结:
1.偏导数的定义偏增（zēng）量比的极限
2.偏导数的计《繁：計》算、偏导数的几何意义
3.高阶偏导数【shù】纯偏导混合偏导及其相等的条件.
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