有理数无理数区别？有理数和无理数的区别有以下几点：1、有理数可以写为有限小数和无限循环小数，无理数只能写为无限不循环小数。2、所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．3、范围不同
有理数无理数区别？
有理数和无理数的区别有以下几点：1、有理数可以写（繁：寫）为有限小数和无限循环小【读：xiǎo】数，无(wú)理数只能写为无限不循环小数。
2、所有【练：yǒu】的有理数都可以写成【chéng】两个整《拼音：zhěng》数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．
3、范围不同。有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法《练：fǎ》、除法（除数不为wèi 零）4种《繁体：種》运算通行无阻。无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
4、有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。无理数是所有不是有【读：yǒu】理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字(zì)。
如何使用数学证明无理数数量多于有理数？
首先，我们要搞清楚 什么是：“无理数数比有理数数多”。
为了方便，数学上将有理数集记为 Q，将实数集记为 R。从实数中除去有理数 剩下的就是 无理数，因此 无理数记为 RQ，其中 表示 差集，即，从 R 除去 Q 中元素的 意思：同时，用 |X| 表示 集合 X 中元素个(拼音：gè)数，例如 若 X = {Tom， and， Jerry}，则 |X| = 3。这样以来，题目中：“无理数比有【练：yǒu】理数多”，可被表述为：
|RQ| > |Q| ①
可是，我们知道：有理数[繁：數] 和 无理数 的个数都是 无穷多个，即，|Q| = |RQ| = ∞，那么问题来了：对于两个 无穷大(读：dà)又如何比较大小呢？也就是说，如何 使得 ① 对于无穷集合有意义？
这澳门威尼斯人个问题，最早欧拉大神就研究过，为此不惜规定自然数之和为 -1/12，但依然并没有找到规律。后来是 康托尔（Cantor）找到了解决【pinyin：jué】问题的金钥匙——映射。
映射，记为 f: X → Y ，它描述 从 集合 X 到 集合 Y 的一种关（繁：關）系，即，
对于 X 中的每(读：měi)个元素 x 在 Y 中 有且只有一个 元素 y = f(x) 与之对应。②
康托尔 通{tōng}过 对 映射关系的细分，来对 ① 进行定义：
- 单的：X 中的不同元素 在 Y 中 对应不同元素；
- 满的：Y 中的每个元素 都有 X 中的 至少一个 元素与之对应；
这说明，在统计[拼音：jì] Y 中元素个数的过程中，Y 中 每数一个元素 y 都会 有 X 中的 y 对应的 至少 一个 元素 x 跟着计数，而且 根据 ②，不会发生《拼音：shēng》 同一个 x 计数 两次的情况，于是，我们认为： Y 的元素个数 不会大于 X 的元素个数，即，|X| ≥ |Y|；
- 双的：既是 单的 又是 满的；
这时（繁体：時） X 和(拼音：hé) Y 中的 元素 一一对应，因《读：yīn》为 |X| ≤ |Y| 并且 |X| ≥ |Y| 所以 |X| = |Y|。
注：高中数学课本上，分别称 单【dān】的、满的、双的 映射 为，单射、满射、双射。因为映射对于 有限集合 和 无限集合 同时有效，于是，用映射给出的 ① 的定义，对于 有限集合（繁体：閤）和无限集合 同时有效，这样就绕开 比较无穷集合大小的的纠结。
有了《繁：瞭》 映射这个利器后，虽然 Q 和 RQ 是 无穷集合，但是 只要 找到 它们 之间 的映射，就可以 根据 映射关系的 细分 来判断 它们[繁：們] 之间的大小关系了。
然后，利用自然数集作为标尺来证明。
所有自然数（包括 0）组成的集合 记为 ω。对于任意集合 X，若 |X| ≤ |ω| 则称 X 可数，否则，即 |X| > |ω| 则称 X 不可数。集合 X 可数就意味着，存在 双射 f: N → X，使得 X 中(拼音：zhōng)元素 和 自然数 的 全体 或 部分 N = {0， 1， 2， ...， n， ...} 一一对应 f: N → X ，于是shì 就 可以 以 N 中自然数为下标 将 X 的元素排成一列：
称 X 可列。反之亦然。世界杯这说明，X 可列 必然 X 可数，X 可数 必《bì》然 X 可列。
先证（繁体：證）明了 Q 可数：
任何 正有理数数(繁体：數) 都可kě 表示为 两个正整数 的比值，因《拼音：yīn》此我们可以建立下表：
沿娱乐城着，箭头的路(拼音：lù)线，将 重复的 正有理数 删除，则 所有 正有理数数 组成一个 序列：
于是可以建立 自然数集 ω 和 有理数集jí Q 之间的一一对应关系：
这就证明【练：míng】了 |Q| = |ω|，即，Q 可数。
再（读：zài）证明 无理数 RQ 不可数：
考虑 (0， 1) 之间的 无理数，将它【tā】们写成无限不循环小数。假设shè 它们 可数，则可列，于是将它们排成一竖（繁：豎）列如下：
接着我们将构造[拼音：zào]一个 新的无理数：
构造过guò 程如下：
- 如果 a₀ 的第1位小数 a₀₁ ≠ 6 则 b 的第1位小数取 b₁ = 6，否则取 b₁ = 9；
- 接着，沿着竖列向下，找到 无理数 aᵢ₁，满足，它的第1位小数 aᵢ₁₁ = b₁。如果 aᵢ₁ 的第2位小数 aᵢ₁₂ ≠ 6 则 b 的第2位小数取 b₂ = 6，否则取 b₂ = 9；
- 接着，沿着竖列向下，找到 无理数 aᵢ₂，满足，它的第2位小数 aᵢ₁₂ = b₂。如果 aᵢ₂ 的第3位小数取 aᵢ₁₃ ≠ 6 则 b 的第3位小数取 b₃ = 6，否则取 b₃ = 9；
- ...
这就证明【读：míng】了 (0， 1) 之间的无理数不可列，进而 全体有理数 RQ 也不(bù)可列，于是 RQ 不可能 和 ω 一一对应 ，即，|RQ| ≠ |ω|。
而很容构《繁：構》造映射 f : ω → RQ，如下：
f(n) = n √2
显澳门伦敦人然 f 是（读：shì）单的，于是有：
上面已经证明（pinyin：míng）了 |RQ| ≠ |ω|，于是得到
|RQ| > |ω|
即，RQ 不可数。
综合，由上面的证明结果《读：guǒ》：
- |Q| = |ω|，Q 可数；
- |RQ| > |ω| ，RQ 不可数；
|RQ| > |Q|
即，无理数比有理数多《读：duō》。
最后，实际上无理数比有理数多的多。
可以这样想象（并非证明）：设，袋子里(繁：裏)有十个球，分别标记有 0 到 9 十个数字。每次随机的取一个球，记录球上《拼音：shàng》的数字，然后将球放回；用这个记录的数字 作为 (0， 1) 之间小数的一个小数位。
如果，要使得这个小数[繁体：數]是有理数，则必须 从 某次取球《练：qiú》之后，每次都取到 0 号球（或按照某些固定循环 取球），因为要无限的取下去，所有这种事件的发生概率，为 0，其逆事件，即，小数是无理数，的发生概率是 1。
由此可见，通过取球生产的 (0， 1) 之间小数，该小数是 无理数 是必然事件《读：jiàn》（概率 P = 1），该小数是 有理数 是 不可能事件（概率 P = 0）。这就说明 无理数比有《pinyin：yǒu》理数（繁体：數）多的多。
注：对于有无穷个样本点的样本空间，不可（拼音：kě）能事件 也会发生。
事实上，在【pinyin：zài】《测度论》中，有理数集 Q 就是 零测集，不过这个就【jiù】扯远了，这里打住。
（以上的证明并不简洁，应该有更好的证明方法，希望各位数学大神不吝赐教！另外，由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师批评指正！）
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