复数的本质是什么？复数作为实数的一种延伸，有着悠久的历史。它曾被称为虚构的。直到18世纪初，在demover和Euler的大力推广下，数学家们才逐渐接受复数，理解复数需要一点时间，但并不复杂，而且它还能画出非常漂亮的变换和分形图形，这次，让我们用图形化的方式来理解这个概念
复数的本质是什么？
复数作为实数的一种延伸，有着悠久的历史。它曾被称为虚构的。直到18世纪初，在demover和Euler的大力推广下，数学家们才逐渐接受复数，理解复数需要一点时间，但并不复杂，而且它还能画出非常漂亮的变换和分形图形，这次，让我们用图形化的方式来理解这个概念。复数，作为实《繁体：實》数理论的延伸
让我们先看看实数轴上两个数的加、减、乘、除四种运算。观察到两个红蓝点（数字）在不同计算下结果（绿点）的变化，无论《繁体：論》数字{拼音：zì}如何变化，总是落在数字轴上（除法分母(练：mǔ)为0时，[当然没有意义
]下图中，任何实数乘以-1的结果都会落下关于原点的相应对称位置。因此，乘以【yǐ】-1的计算可以理解为点（数）绕原（pinyin：yuán）点旋转半(pinyin：bàn)圈。
数学家进一步认为，既然乘以-1会旋转180度，那么{练：m澳门巴黎人e}它在哪里只旋转90度（例如整数1）并下降？它的意义是什么？
进入新的二维复平面
这是19世纪数[繁体：數]学史上非常(拼音：cháng)重要的一步。现在它不是在一维实数轴上，而是在二维复平面上，考虑到两个90度的旋转正好达到-1，我们认为-1的(pinyin：de)平方根是一个90度的旋转，对应于1（即1*I*I=-1），这样的话，垂直于平面上实数轴的单位线段称为虚单位I。因此，它具有以下特性：实数轴上的这一点并不奇怪，实际上落在复平面（或algon平面）上
复平面上的所有数都满足Z=a，bi的结构，称{繁：稱}为复数。其中a称为实部，B称为实部，如图1所示，2I为复数，1和（hé）2为实数，I为虚单位。这样一个复平面的几何表示如下图所示：
现在笛卡尔坐标平面是二维的，需要两个数字（x，y）来描述任意点的位置，但现在一个复数就足够了，可以用实数组（a，b）来表示复数，而且[读：qiě]可以画在复杂的平面上。但是请（繁：請）记住，每一个(繁：個)这样的点都应该被看作一个复数而不是一对实数。
有三个新的概gài 念要知道：
复数的模（通常写为| Z |）：模是它的长度R：从原点到Z点(繁：點)的距离
参数（通常写为Arg（Z））：参(繁：蔘)数φIt是复数与实轴的夹角
复数的共轭（通常写[拼音：xiě]为´z）：共轭是A-B I的形式
观察下图可以更好地理解以上三个(繁体：個)概念：
复[繁：覆]数的运算
复数[拼音：shù]的运算方{练：fāng}式，例《pinyin：lì》如，它可以成对相加，即两个复数的实部和虚部可以分别相加，可视为平移运算。
复数也可以乘以若干个数，即放大或缩小模[拼音：mó]：
复数的乘【pinyin：chéng】法，如上所述，数字乘以I等于旋转90°：
Z1*Z2两个复数的乘法实《繁体：實》际上是旋转和展开的两个变换，即两个复数乘以模（展开大小），如果你对图片中的每个点做复数变换【huàn】，你可以得到各种有趣的平面变换图像。在这里，为了纪念欧拉神，以他老人的头为例，做两个I-旋转90°，同时放大2倍的函数变换，另一个变换函数是立方的，你也可以想想为什么它会变成这个形状？：-）
最美的数学公【练：gōng】式欧拉公式
复平面上的一个点可澳门巴黎人以变换成极坐标（R，θ）的形式，那么这【pinyin：zhè】个点所代表的复数是什么？我们可以把x=R cos（θ）和y=R sin（θ）变换成笛卡尔坐标。所以极坐标（R，θ）表示复数
特别是（拼音：shì）如果R=1，那么z=cos（θ）I sin（θ）的复数
如re^（Iθ）是极坐标形式，对应的x iy是笛卡尔形式，瑞士数学澳门永利家欧拉给出了著名的欧(拼音：ōu)拉公式，它适用于所有实数θ：
特别是当θ=π时，欧拉公式的特殊形式被评（繁体：評）为数学上最美的公式：
这(繁：這)个简明的公式包括数学上最重要的五个常数：0，1（自然数的基本[拼音：běn]单（繁体：單）位），e（描述变化率的自然指数），π和I（虚数的基本单位）
我们可以用几何方法快速地证明这个方程。观察极坐标[拼音：biāo]e^θ，对应下图中θ的不同值。请注意动画的停顿（特别是当复杂平面的旋转角度为180°，点落在-1时），相信您会(繁：會)理解上面的欧拉方程：
参（繁澳门新葡京：蔘）考资料：
阿德【pinyin：dé】里安·本纳【繁：納】，普林斯顿微积分读本（修订版）https://betterexplained.com/articles/a-visual-intential-guide-to-imaginal-numbers/
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