为何正交矩阵一定可以对角化？（小石头尝试着来回答这个问题）非常遗憾，正交矩阵不一定可以对角化，为什么呢？首先，我们知道，一个 n 阶 方阵 A 可以对角化的充要条件是：1. 特征值有且仅有 n 个（可以重复）2. 对于 每个 特征值 λᵢ，设 sᵢ 是它的重复数，则 r(A - λᵢE) = n-s；方阵 A 的特征值是 特征方程 |A - λE| = 0 这个 一元n次多项式方程的根
为何正交矩阵一定可以对角化？
（小石头尝试着来回答这个问题）非（拼音：fēi）常遗憾，正交矩阵不一定可以对角化，为什么呢？
首先，我们知道，一个 n 阶 方阵 A 可以对角化的充（读：chōng）要条件是：
1. 特征值有yǒu澳门博彩 且仅有 n 个（可以重复）
2. 对于(繁：於) 每个 特征值 λᵢ，设 sᵢ 是它的重复数，则 r(A - λᵢE) = n-s；
方阵 A 的特征值是 特征方《拼音：fāng》程 |A - λE| = 0 这【pinyin：zhè】个 一元n次多项式方程的根。根据高等代数基本定理，一元 n 次多项式方程，在复数域{读：yù} C 内必然有 n 个根（包括重根）。因此，只有保证 条件2 就可以保证 复数方阵 一定可以对角化。
然澳门银河而，正交矩阵 A 定义为【pinyin：wèi】：
在实数域 R 上，如{读：rú}果 n 阶 矩【pinyin：jǔ】阵 A 满足 AAᵀ = E，即，A⁻¹ = Aᵀ，我们称 A 为 正交矩阵。
这个定义说明（读：míng），正交矩阵是 实数域 R上，于是就要求其特[tè]征值必须是实数。而，我们无法保证 正交矩阵的特征方程的n个根 一定都是实数。进而，也无法保证 条件1，即，A 一定有n个实数根，来构成对角化矩阵，于是也就无法保证 A 一定可{kě}以对角化。当然，更谈不上 条件2 了。
另{练：lìng}一方面，n 维向量空间 Rⁿ 上定义了 内积 后就称为 欧氏空间，设
e₁， e₂， e₃， ...， e_n
是欧氏空间 Rⁿ 的一组基，又设， Rⁿ 中向量 a， b 在 这组基下的坐标 分别是 X 和 Y，则有：
(a， b) = XᵀGY
其[拼音：qí]中，
称为，度(dù)量矩阵。
当 e₁， e₂， e₃， ...， e_n 是标【练：biāo】准单位正交基时，
G = E
这时，对于任意 向【xiàng】量 a， b 以及正交矩阵A 有：
(Aa， Ab) = (AX)ᵀE(AY) = (AX)ᵀ(AY) = (XᵀAᵀ)(AY) = Xᵀ(AᵀA)Y = XᵀEY = XᵀY = (a， b)
即，得到性质《繁体：質》：
(Aa， Ab) = (a， b)
如果【拼音：guǒ】，欧氏空间 Rⁿ澳门永利 上的线性变换 A 也满足上面的性质，即，
我亚博体育们就称 A 是正交{jiāo}变换。
由于，正交变换 A，是定义在欧氏空间 Rⁿ 上的线性变换(繁：換)，因此（练：cǐ），这就必然要求 A 在任何基下对应的矩阵是 实数矩阵。所以这就，反过要求《练：qiú》， A 对应的 正交矩阵 A 的对角线化 矩阵 必须是实数的。
最后，将正交矩（繁：榘）阵扩【pinyin：kuò】展到 复数{练：shù}域，就是 酉矩阵。那么，酉矩阵一定可以对角化吗？
（小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师同学，批评指正！）
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