偏导数的背景？在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。引入： 在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率
偏导数的背景？
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相{xiāng}对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向{pinyin：xiàng}量分析和微分几何中是很有用的。
引澳门永利(练：yǐn)入：
在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变[繁体：變]化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同[繁：衕]方向的变化率。
在这里我们只学习函数f#28x，y#29沿着平行于x轴和平行于y轴两个{练：gè}特殊方位变动(dòng)时，f#28x，y#29的变化率。
偏导数的算子【练：zi】符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变(繁：變)化率。
偏导数的四则运算法则？
定义2. 1 设函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29的某一邻域内有定义当y固定在y0 而x在x0处(繁：處)有增量x时相应地函[hán]数有增量 f#28x0x，y0#29f#28x0，y0#29
如（rú）果
#29处对x的{pinyin：de}偏导数记为
即[读：jí]
。
同理可定dìng 义函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29处对y的偏导数为
.
即jí
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研【pinyin：yán】室
如果函数zf#28x，y#29在区域D内任一点#28x，y#29处对x的偏导(繁：導)数都存在那么这个（繁体：個）偏导数就是x、 y的函数它就称为函数zf#28x，y#29对自变量x的偏导函数简称偏导数记作
.
同理可以定义函数zf#28x，y#29对自变量《练：liàng》y的偏导数记作
.
偏导数的娱乐城概念可以推广到二元以《拼音：yǐ》上函数
如uf#28x，y，z#29在《读：zài》#28x，y，z#29处
2、计[繁：計]算
从偏导数的定义【pinyin：yì】可以(练：yǐ)看出计算多元函数的偏导数并不需要新的方法若对某一个自变量求导 只需将其他自变量常数 用一元函数微分法即可。 于是一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。
例1求zx23xyy2在点#281，2#29处(繁：處)的偏导数
解法(fǎ)一
.
解{练：jiě}法二 z
z x113yy
这里我们要知道有时 “先求偏导函数再代值求某mǒu 点的偏导数”不一定简便。如[拼音：rú]下例
例{读：lì}2 f#28x，y，z#29x
.
解【jiě】:
.
例3 已知理想气体的{读：de}状态方程pVRT R为常数【pinyin：shù】求证 pVTVpT1 .2
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高等数学下册讲[繁：講]稿 第四章 数学分析教研室
证《繁体：證》明 p
.
有关偏导(dǎo)数的几点说明
1、 偏导数《繁：數》
是一个（读：gè）整体记号不能拆分
2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定dìng 义求
例如《pinyin：rú》，zf#28x，y#29 xy，求
.
解(拼音：jiě)
.
例4设f#28x，y#29
#29的[读：de]偏导数。
解当[繁：當]#28x
当#28x，y#29#280，0#29时，按《pinyin：àn》定义可知
，
，
故【读：gù】
.
、偏导数存在与连续的关系{繁体：係}
一元函数中在某点可导 函数在该点《繁：點》一定连[繁：連]续但多元函数中在某点偏导数存在 函数未必连续.
例（读：lì）如
#29处fx#280，0#29fy#280，0#290.但函hán 数在该点处并不连续.
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高等数学下册讲稿 第四章 数学(繁体：學)分析教研室
4、偏导数的几何hé 意义
设M0#28x 0，y 0，f#28x 0，y 0#29#29 是曲面zf#28x，y#29上一点则【zé】
偏导数fx#28x0，y0#29就是曲面被平面[miàn]yy0所截得的曲线在点M 0处的切线M0 Tx对x轴的斜{xié}率偏导数fy#28x0，y0#29就是曲面被平面（读：miàn）xx0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率.
二、高阶偏（拼音：piān）导数
设函数zf#28x，y#29在区域（读：yù）D内的两个偏导数fx#28x，y#29 、 fy#28x，y#29的偏导数也存在则称它们是函数zf#28x，y#29的二阶偏导数(繁：數)。记作
#29
#29
定义二【练：èr】阶及二澳门银河阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例5设《繁：設》z
.
解（拼音：jiě）
.
例6设澳门金沙ueax cosby求二(èr)阶偏导数.
解（读：jiě）
问题混合偏导数都相等吗(繁体：嗎)
例【lì】7设f#28x，y#29
.
解当dāng #28x，y#29#280，0#29时，
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研[练：yán]室
，
当#28x，y#29#280，0#29时按定（练：dìng）义可知
，
，
显xiǎn 然fxy#280，0#29fyx#280，0#29.
问题具【jù】备怎样的条件才能使混合偏导数相等
定【dìng】理2. 1 如果函数zf#28x，y#29的两个二阶混合偏导数
内(繁体：內)连续那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等
例8验{pinyin：yàn}证函数u#28x
.
证（繁体：證）明 ln x
，
证毕[繁体：畢].
内容小xiǎo 结:
1.偏导数的定义偏增量比《拼音：bǐ》的极限
2.偏导数的计算、偏导数的{练：de}几何意义
3.高阶偏导数纯偏导混（练：hùn）合偏导及其相等的条件.
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