矩阵何时可以对角化huà

为何正交矩阵一定可以对角化？（小石头尝试着来回答这个问题）非常遗憾，正交矩阵不一定可以对角化，为什么呢？首先，我们知道，一个 n 阶方阵 A 可以对角化的充要条件是：1. 特征值有且仅有 n 个（可以重复）2. 对于每个特征值 λᵢ，设 sᵢ 是它的重复数，则 r(A - λᵢE) = n-s；方阵 A 的特征值是特征方程 |A - λE| = 0 这个一元n次多项式方程的根

为何正交矩阵一定可以对角化？

（小石头尝试着来回答这个问题）

非常遗憾，正交矩阵不一定可以对角化【读：huà】，为什么呢？

首先，我们知道，一个 n 阶方阵 A 可以对角化的【练：de】充要条件是：

1. 特【pinyin：tè】征值有且仅有 n 个（可以重复）

2. 对于每个特征值 λᵢ，设[繁体：設] sᵢ 是它的重复数，则 r(A - λᵢE) = n-s；

方阵【练：zhèn】 A 的（de）特征值是特征方程 |A - λE| = 0 这个《繁：個》一元n次多项式方程的根。根据高等代数基本定理，一元 n 次多项式方程，在复数域 C 内必然有 n 个根（包括重根）。因此，只有保证条件2 就可以保证复数方阵一定可以对角化。

然而，正{zhè澳门新葡京ng}交矩阵 A 定义为：

在zài 实数域 R 上，如果 n 阶开云体育矩阵 A 满足 AAᵀ = E，即，A⁻¹ = Aᵀ，我们称 A 为正交矩阵。

这个定义说明，正交矩阵是实数域 R上，于是就要求其特征值必须是实数。而，我们无法保证正交【pinyin：jiāo】矩阵的特征方程的n个根一定都是实数。进而，也无法保证条件1，即，A 一定有n个实数根，来构成对{pinyin：duì}角化矩阵，于是也就无法保证 A 一定可(读：kě)以对角化。当然，更谈不上条件2 了。

另一方面，n 维皇冠体育{繁体：維}向量空间 Rⁿ 上定义了内积后就称为欧氏空间，设

e₁， e₂， e₃， ...， e_n

是欧【练：ōu】氏空间 Rⁿ 的一组基，又设， Rⁿ 中向量 a， b 在这组基下的坐标(繁：標) 分别是 X 和 Y，则有：

(a， b) = XᵀGY

其中（zhōng），

称为，度量矩阵。

当 e₁， e₂， e₃， ...， e_n 是标（繁：標）准单位正交基时，

G = E

这时，对于任意向量 a， b 以及正交【练：jiāo】矩阵A 有：

(Aa， Ab) = (AX)ᵀE(AY) = (AX)ᵀ(AY) = (XᵀAᵀ)(AY) = Xᵀ(AᵀA)Y = XᵀEY = XᵀY = (a， b)

澳门新葡京即{jí}，得到性质：