数学旋转综合题 有谁知道比二次函数综合题思维难度还要大的中考压轴（繁体：軸）题？

有谁知道比二次函数综合题思维难度还要大的中考压轴题？距离中考不到100天，许多同学也已经进入最后一轮复习。集中精力攻克一些重难点，是眼下拔高成绩的关键。但很多同学表示，中考数学中难度大、分值高的压轴题，是一块非常难啃的硬骨头，解答压轴题时，往往信心不足，往往每写出来第一小问，下面两问思路不畅，就举手投降了

有谁知道比二次函数综合题思维难度还要大的中考压轴题？

我们知道，在中考这[繁体：這]样的大[dà]型考试中，多一分就能超过数人，更别说十几分。尤其是对于目标考到130分以上的同学来说，这道关键题是(pinyin：shì)必须要拿下的！

导[繁：導]语

纵观五年各省市中考压轴题，除了大多也以二次函数为背景框架的压轴题外，也出现很多以几何综合(hé)与探究型的形式出现，它以基本几何图形为背景，在动点或者图形变换中涉及三角形性质、判定、全等、相似或特殊的平行四边形等知识。主要涉及《pinyin：jí》的类型{pinyin：xíng}有：运动产生的线段、面积、等腰三角形{读：xíng}、直角三角形、特殊四边形问题。主要考查学生综合运用知识的能力，其思维难度高方法灵活。

综合与探究题作为考试的一个(gè)重要考察点，综合了几何的知识，再涉及动态变化，函数的极值问题。对学生的分析判断、推理论证、空间观念和探究能力都{读：dōu}有较高的要求，考查了学生的数学综合应用能力，符合课标要求。

几何综合与探究题《繁体：題》的题型

几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜{pinyin：xiān}活，具有实用性(读：xìng)和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力。以几何为主的综合题常常【pinyin：cháng】在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：

①.证明线《繁体：線》段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；②.证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆位置关（繁体：關）系等）；③.几jǐ 何计算问题；④.动态几何问题等。

（1）几何型综[繁体：綜]合题：

主要考察了利用图形变换（平【píng】移、旋转、轴对称）证明线段、角的(读：de)数量关系及动态几何问题。这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设与结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答。将几何综合题目分解为基本问题，转化为wèi 基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。

例1.（2019•淄博中考题）如图1，正方[读：fāng]形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连{pinyin：lián}接《jiē》MD，MG，MB．

（1）试证明DM⊥MG，并(繁体：並)求MB/MG的值．

（2）如{rú}图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它{练：tā}条件不变，问（1）中MB/MG的值有变化吗？若有【读：yǒu】变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．

【解析】（1）如图1中，延长DM交FG的（pinyin：de）延长线于H．证明△DMG是等腰直角三角形即可《pinyin：kě》，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2√2a，BF＝√2a，求出BM，MG即可解决问题．

（2）（1）中MB/MG的值有变化．如图2中，连《繁体：連》接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．首先证明O，G，F共线，再证明点M在直线AD上，设BC＝m，则AB＝2m，想办法求出[繁体：齣]BM，MG（用m表示），即可解决问题．

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解《练：jiě》直角三角形，全等三角形（拼音：xíng）的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

例2．（2019•襄阳中考题）（1）证《繁体：證》明推{tuī}断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别{练：bié}在边CD，AB上，GF⊥AE．

①求证(繁体：證)：DQ＝AE；

②推断[繁体：斷]：GF/AE的值为 ；

（2）类比探《练：tàn》究：如图(繁体：圖)（2），在矩形ABCD中，BC/AB＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用【yòng】：在（2）的条件下，连[繁：連]接CP，当k＝2/3时，若tan∠CGP＝3/4，GF＝2√10，求CP的长．

【解析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO ∠OAD＝90°，又（练：yòu）知∠ADO ∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ． ②证明四边形DQFG是平行四边形即【练：jí】可解决问题．

（2）结论：FG/AE＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．

（3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线(繁：線)于(拼音：yú)M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．PC＝9√5/5．

【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质[zhì]，相似三角形的判定和性质，解直角三角形(xíng)等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

（2）分【拼音：fēn】类讨论问题：

分类讨论问题主要考查分类讨论的数学思想，常见的类型有：等腰三角形[练：xíng]、直角三角形、相似三角形，平行四边形#28矩形、菱形、正[拼音：zhèng]方形）。有些《拼音：xiē》题目在分类讨论列方程求解后，还要检验，排除干扰。

例3.（2019•湘潭中考题）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边【练：biān】作矩形ABCD，AD＝5√3，CD＝5，点M是线段AC上一动点（不与（繁：與）点A重合），连(lián)结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．

（1）求∠CAD的大小《练：xiǎo》；

（2）问题探究：动点M在运【pinyin：yùn】动的过程中，

①是否能使△AMN为等腰三角(练：jiǎo)形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说（繁体：說）明理由《练：yóu》．

②∠MBN的大小{xiǎo}是否{练：fǒu}改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由(读：yóu)．

（3）问题解决（繁：決）：

如图二，当动点M运{pinyin：yùn}动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点[繁体：點]为H，求[qiú]线段FH的长度．

【解析】（1）在Rt△ADC中，求出∠DAC的正切值即可解决《繁体：決》问题．∠DAC＝30°．

（2）①分两种情【拼音：qíng】形：当NA＝NM时，当AN＝AM时，分别求解即可．

②∠MBN＝3皇冠体育0°．∵∠BAN ∠BMN＝180°，∴A，B，M，N四点共圆，利（拼音：lì）用四点共圆解决问题即可．

综上所述，可[kě]求满足条件的CM的值为5或5√3．

（3）首先证明△ABM是等边三角(pinyin：jiǎo)形，再证明{拼音：míng}BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可解决问题．可求FH＝5√3/6．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的[读：de]判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学《繁：學》会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题（繁：題）

#283#29最值型（拼音：xíng）问题：

这类题则需要根据条件，利用几何形[pinyin：xíng]状，利用几何变换进行转换，或创设函数，利用函数性质（一般是一次函数、二次(练：cì)函数的增减性）求解。同时注意求最值时要注意自变量的取值【拼音：zhí】范围。

例4.（2019•贵港中考题）已（pinyin：yǐ）知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转《繁体：轉》角为(繁：爲)α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．

（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交《pinyin：jiāo》BC于点F．

①写[拼音：xiě]出旋转角α的度数；

②求证【练：zhèng】：EA′ EC＝EF；

（2）如{rú}图2，在（1）的条件【读：jiàn】下，设P是直线A′D上的一yī 个动点，连接PA，PF，若AB＝√2，求线段PA PF的最小值．（结果保留根号）

【解析《拼音：xī》】（1）①解直澳门伦敦人角三角形求出∠A′CD即可解决问题．旋转角为105°．

②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时[shí]截取EM＝EC，连接CM．首（pinyin：shǒu）先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．

（2）如(读：rú)图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明（练：míng）△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出PA PF＝PA PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．

【点评】本题属于四边形综《繁：綜》合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形{pinyin：xíng}的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会[huì]添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

解这类问题要注重在图形的形状或位置的变化过程中寻找函数与[繁体：與]几何的联系，需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关【练：guān】系或特殊关系，动中取静，静中求动。

求解压轴几何问[wèn]题的策略

#281#29课本知识系统化(pinyin：huà)

立足基础知识，要充分体现教材的基础作用，深入挖掘教材的考评价值（练：zhí）。这类压轴题所考察知识点源于课本，都能在初中数学课本找到原型，复习要注重对这些原型的加工、组合、类比、改造、延伸和拓展，使分散娱乐城在各章节的知识点一一过关，形成知识系统，为解这类压轴题奠定知识基础。

#282#29解题《繁：題》思路经验化

探索解题思路的规律，形成解题经验。在综合复习过程中，要揭示获取知识的思维学生在学习过程中展开思维，形成能力（lì）。解综合与探究题要求学生全面、熟练地掌握【拼音：wò】学过的数{pinyin：shù}学知识、联系条件，发展条件，依经验迅速确定解题的方向和方法。

解决几何(练：hé)综合题，需要厚积而薄发。所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基jī 础上的。熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧（繁体：舊）”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中，注重对基本图形及辅助线的积累是《练：shì》非常必要的。

①.与相似及圆有关的基本图形（pinyin：xíng）。

②.正方（拼音：fāng）形中的基本图形。

③.基本辅(繁：輔)助线。

a.角平分（pinyin：fēn）线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角（练：jiǎo）平分线的性质）、翻折。

b.与[繁体：與]中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线。

c.共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆（读：yuán）。

d.垂直平分线，角平分线《繁体：線》——翻折。

e.转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折《繁：摺》。

#283#29思(拼音：sī)想方法渗透化

几何综合与探究题渗透了数学的重要的思想方法，不能以解决问题作为教学的终结点，应将数学思想方法渗透在整个教学过程中。它应以例题、习题为载体，在学好基础知识的同《繁体：衕》时掌握数学的思想方法，并通过不断的积累、运用，内化为自己的知识经验，以此应对千变万化的{练：de}各种类型的压轴题。

①.注意观察、分析图形，把复杂的图形分解【练：jiě】成几个基【读：jī】本图形，通过添加辅助线补(繁：補)全或构造基本图形。

②.掌握常规的(拼音：de)证题方法和思路。

③.运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题。还要灵活运{练：yùn}用{读：yòng}数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）。

#284#29解题训练常规化[pinyin：huà]

几何综（繁：綜）合与探究题的解题能力的提升是一个渐进的过程，绝不是在两三周就可以做到的。应把解题能力的提升贯穿于整个数学备考过程，让学生对二次函数（繁体：數）压轴题经历从害怕——尝试——熟悉——自信的过[拼音：guò]程。

#285#29澳门金沙解[拼音：jiě]题格式规范化

有部分学生因解题过程不规范，证明时语言不准确而失分，十分可惜。在复习过程中，要建立数常见题型的书写模型，明确哪些过程可以简化，哪些关键的[读：de]步骤是不可少的，多加练习形成《pinyin：chéng》固定模《mó》式。

#286#29要学会抢得【练：dé】分点

综合与探究题一般在大《pinyin：dà》题下都有两至三个小题（繁体：題），难度是逐渐递增，因此，我们在解答时要把第1小题的分数一定拿到，第2小题的分数要力争拿到，第3小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可(读：kě)能性。

一点感悟（澳门新葡京练：wù）及建议

在最后一段时间内，要选做一些能代表命题方[fāng]向的题目，要引导学生对解题【pinyin：tí】过程、结果进行反思，以下几个方面需重点关注：

（1）试题《繁体：題》结构；

（2）解题过程运用了（繁体：瞭）哪些基础知识与基本技能，哪步易错，如何防止；

（3）对解题的方法重新评估，以期找【拼音：zhǎo】到最优解法；

（4）对题目的重要步骤进行分析，抓住关键(繁体：鍵)，考虑难点之处如何突破，能否用《读：yòng》别的方法导出结果，哪一种方法是最高效的；

（5）对问题《繁体：題》的条件和结论进行变换，使问题系统化。

数形结合记心头，大题小作来(繁：來)转化，

潜在条件不能忘，化动为静多(duō)画图，

分类讨论要严密，方程函数《繁：數》是工具，

计[繁体：計]算推理要严谨，创新品质得提高。

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