复数意义何在{读：zài}

复数的本质是什么？复数作为实数的一种延伸，有着悠久的历史。它曾被称为虚构的。直到18世纪初，在demover和Euler的大力推广下，数学家们才逐渐接受复数，理解复数需要一点时间，但并不复杂，而且它还能画出非常漂亮的变换和分形图形，这次，让我们用图形化的方式来理解这个概念

复数的本质是什么？

复数作为实数的一种延伸，有着悠久的历史。它曾被称为虚构的。直到18世纪初，在demover和Euler的大力推广下，数学家们才逐渐接受复数，理解复数需要一点时间，但并不复杂，而且它还能画出非常漂亮的变换和分形图形，这次，让我们用图形化的方式来理解这个概念。

复{pinyin：fù}数，作为实数理论的延伸

让我们先看看实数轴上两个数{练：shù}的加、减、乘、除四种运算。观察到两个《繁体：個》红蓝点（数字）在不同计算下结果（绿点）的变化，无论数字如何变化，总是落在数字轴上{pinyin：shàng}（除法分母为0时，[当然没有意义

]下图中，任何实数乘以-1的结果都会落下关于原点的相应对称位置。因此，乘以-1的计算可以理解澳门新葡京为点（数）绕原【练：yuán】点旋转半圈。

数学家进一步认为，既然乘以-1会旋转zhuǎn 180度，那么它在哪里只旋转90度（例如整数1）并下降？它(繁体：牠)的意义是什么？

进{pinyin：jìn}入新的二维复平面

这是19世纪数学史上非常重要的一步。现在它不是在一维实数轴上，而是在二维复平面上，考虑到两个90度的旋转正（pinyin：zhèng）好达到-1，我们认(繁：認)为-1的平方《拼音：fāng》根是一个90度的旋转，对应于1（即(读：jí)1*I*I=-1），这样的话，垂直于平面上实数轴的单位线段称为虚单位I。因此，它具有以下特性：实数轴上的这一点并不奇怪，实际上落在复平面（或algon平面）上。复平面上的所有数都满足Z=a，bi的结构，称为复数。其中a称为实部，B称为实部，如图1所示，2I为复数，1和2为实数，I为虚单位

这样一个幸运飞艇复平面的几何表示如下图所【pinyin：suǒ】示：

现在笛卡尔坐(练：zuò)标平面是二维的，需要两个数字（x，y）来描述任意点的位置，但现在一个复数就足够了，可以用实数组（a，b）来表示复数，而且可以画在复(繁体：覆)杂的平面上。但是请记住，每一个这样的点都应该被看作一个复数而不是一对实数。

有三个新的概【练：gài】念要知道：

复数的模（通常写为| Z |）：模是它的长度R：从原点到Z点的距离《繁体：離》

参数（通常《读：cháng》写为Arg（Z））：参数φIt是复数与实轴的夹角

复数的共轭（通常写为´z）：共轭è 是A-B I的形式

观察下图可以更好地理解以上三个概念：

复(拼音开云体育：fù)数的运算

复数的运算方式，例如，它可以成对相加，即两《繁体：兩》个复数的实部澳门威尼斯人和虚部可以分别相加，可视为平移运算。

复数也可以乘以若干个数，即放fàng 大或缩小模：

复数的乘法，如上所【读：suǒ】述，数字乘以I等于旋转90°：

Z1*Z2两个复数的乘法实际上(练：shàng)是旋转和展开的两个变换，即两个复数乘以模（展开大小），如果你对图片中的每个点做复数变换，你可以得到各种有趣澳门新葡京的平面变换图像。在这里，为了纪念欧拉神，以他老人的头为例，做两个I-旋转90°，同时放大2倍的函数变换，另一个变换函数是立方的，你也可以想想为什么它会变成这个形状？：-）

最美的数学公式{读：shì}欧拉公式

复平面上（读：shàng）的一个点可以变换成极坐标（R，θ）的形式，那么这个点所代表的复数是什么？我们可以把x=R cos（θ）和y=R sin（θ）变换成（chéng）笛卡尔坐标。所以极坐标（R，θ）表示复数

z=x iy=R cos（θ）I R sin（θ）。

特（读：tè）别是如果R=1，那么z=cos（θ）I sin（θ）的复数

如re^（Iθ）是极坐标形式，对应的x iy是笛卡尔（繁体：爾）形式，瑞士数学家欧拉给出了著名的欧{练：ōu}拉公式，它适用于所有实（繁：實）数θ：