偏导数的背景？在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。引入： 在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率
偏导数的背景？
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在《拼音：zài》其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何{hé}中是很有用的。
引【练：yǐn】入：
在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就（jiù）需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处（繁体：處）沿《拼音：yán》不同方向的变化率。
在这里我们只学{pinyin：xué}习函数f#28x，y#29沿着平行于x轴和平行于y轴[繁：軸]两个特殊方位变动时，f#28x，y#29的变化率。
偏导数的《拼音：de》算子符号为:∂。
偏导数反映（pinyin：yìng）的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
偏导数的四则运算法则？
定义2. 1 设函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29的某一邻域内有定{练：dìng}义当y固[拼音：gù]定在y0 而x在x0处有增量x时相应地函数有增量(liàng) f#28x0x，y0#29f#28x0，y0#29
如果（读：guǒ）
#29处对(繁体：對)x的偏导数记为
即【pinyin：jí】
同理可定义函数zf#28x，y#29在(拼音：zài)点#28x0，y0#29处对y的偏导数为
.
即(jí)
。
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析{练：xī}教研室
如果函数zf#28x，y#29在区[繁：區]域D内任一点#28x，y#29处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x、 y的函数它就称为函数zf#28x，y#29对自变量x的偏导函数简称偏导数记作（pinyin：zuò）
.
同理可以定义函[pinyin：hán]数zf#28x，y#29对自变量y的偏导数记作
.
偏导数的概念可以推广到二元以（拼音：yǐ）上函数
如uf#28x，y，z#29在(pinyin：zài)#28x，y，z#29处
2、计[繁体：計]算
从偏导数的定义可以（yǐ）看出计算多元函数的偏导数并不需要新的方法若对某一个自变量求导 只需将其他自变量常数 用一元函数微分法即可。 于是一元函数的de 求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。
例1求zx23xyy2在点#281，2#29处的偏导《繁体：導》数
解法【读：fǎ】一
.
解法二（èr） z
z x113yy
这里我们要知道有时 “先求偏导函数再(pinyin：zài)代值求某点的偏导数[繁：數]”不一定简便。如下例
例《练：lì》2 f#28x，y，z#29x
.
解{pinyin：jiě}:
.
例3 已知理《读：lǐ》想[练：xiǎng]气体的状态方程pVRT R为常数(繁：數)求证 pVTVpT1 .2
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高等数学下册讲稿 第四章 数学[繁：學]分析教研室
证明{练：míng} p
.
有关偏导数的de 几点说明
1、 偏导[繁：導]数
是一个整体记《繁体：記》号不能拆分
极速赛车/北京赛车2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定dìng 义求
例如{rú}，zf#28x，y#29 xy，求
.
解[读：jiě]
.
例《lì》4设f#28x，y#29
#29的偏《读：piān》导数。
解(jiě)当#28x
当#28x，y#29#280，0#29时，按àn 定义可知
，
，
故{gù}
.
、偏导数存在与连续【繁：續】的关系
一元函数中在某【练：mǒu】点可导(dǎo) 函数在该点一定连续但多元函数中在某点偏导数存在 函数未{wèi}必连续.
例【读：lì】如
#29处fx#280，0#29fy#280，0#290.但函数[繁：數]在该点处并不连续.
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高等数学下册讲稿 第四(pinyin：sì)章 数学分析教研室
4、偏导{pinyin：dǎo}数的几何意义
幸运飞艇设M0#28x 0，y 0，f#28x 0，y 0#29#29 是曲面zf#28x，y#29上一点（读：diǎn）则
偏导数fx#28x0，y0#29就是曲面被平面yy0所截得的曲线在点M 0处的切线M0 Tx对x轴的斜率偏导数fy#28x0，y0#29就(读：jiù)是曲面被平面xx0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率《拼音：lǜ》.
二、高阶偏导数《繁体：數》
设函数zf#28x，y#29在(拼音：zài)区域D内的两（繁：兩）个偏导数fx#28x，y#29 、 fy#28x，y#29的偏导数也存在则称它们是函数zf#28x，y#29的二阶偏导(繁体：導)数。记作
#29
#29
定义二澳门博彩阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏《练：piān》导数.
例（拼音：lì）5设z
.
解（jiě）
.
例6设ueax cosby求二阶{pinyin：jiē}偏导数.
解{练：jiě}
问题（繁：題）混合偏导数都相等吗
例7设{练：shè}f#28x，y#29
.
解当《繁：當》#28x，y#29#280，0#29时，
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分{fēn}析教研室
，
当#28x，y#29#280，0#29时按{pinyin：àn}定义可知
，
，
显然[练：rán]fxy#280，0#29fyx#280，0#29.
问题具《拼音：jù》备怎样的条件才能使混合偏导数相等
定理2. 1 如果函数zf#28x，y#29的两个（繁体：個）二阶混合偏导数
内连续那末在该区域内这两个（繁：個）二阶混合偏导数必相等
例8验（繁体：驗）证函数u#28x
.
证《繁：證》明 ln x
，
证毕.
内（读：nèi）容小结:
1.偏导数的定dìng 义偏增量比的极限
2.偏导数(繁体：數)的计算、偏导数的几何意义
3.高阶偏导数纯偏导混合（繁体：閤）偏导及其相等的条件.
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