同一个圆中，曲率半径等同于半径吗？曲率半径是形容圆弧弧度的指标，一段圆弧的曲率半径，就是以这段圆弧为一个圆的一部分时，所成的圆的半径。 曲率半径越大，圆弧越平缓，曲率半径越小，圆弧越陡曲率半径不等同于半径. 同一个圆中，曲率半径等同于半径吗？楼上的别乱说，在一个圆里，曲率半径就等于半径
同一个圆中，曲率半径等同于半径吗？
曲率半径是形容圆弧弧度的指标，一段圆弧的曲率半径，就是以这段圆弧为一个圆的一部分时，所成的圆的半径。
曲率半径越大，圆（繁：圓）弧越平缓，曲率半径越小，圆弧越陡
曲率半《读：bàn》径不等同于半径.
同一个圆中，曲率半径等同于半径吗？
楼上的别乱说，在一个圆里，曲率半径就等于半径。我好歹是工科读到硕士了，相信我，没错（繁：錯）的。
曲率半径如何计算？
平面中两个坐标轴上的变量 x 和 y 之间的关系：F(x， y) = 0
构{pinyin：gòu}成一个 平面曲线。
三维空间中，三个坐标轴上的变量 x、y 和 z 之间的《读：de》关系：
F(x， y， z) = 0
构成《练：chéng》一个 曲面。
两个曲面的交线，就是 我们将要讨论的主{读：zhǔ}角 空间曲线：
F₁(x， y， z) = 0
F₂(x， y， z) = 0
当 F₁ 满足隐函数定理的[拼音：de]条件时，我们可以 从 方程1 中 解出：
z = G(x， y)
代入《rù》 方程 2 得到：
G₂(x， y) = F₂(x， y， G(x， y)) = 0
同样，当 G₂ 也满足隐函数定理的条件时《繁：時》，则存在：
y = H(x)
再（读：zài），令 x = t，最终就会得到，方程组：
x = x(t) = t
y = y(t) = H(t)
z = z(t) = G(t， H(t))
这就是，空间曲线的 参数方{练：fāng}程。将其写成向量函数形式为：
r(t) = (x(t)， y(t)， z(t))
曲线的参数表示法，最【pinyin：zuì】早是由 欧拉 引入的，它清楚的表明：
空间曲线 r 是 从 一维空间 R 到澳门新葡京 三维空间（繁：間） R³ 的映射。
也就是shì 说，对于 一维空间 R 中的 每个 点 t 都有 三【sān】维空间 R³ 中的点 r(t) 与之对应，所有的这些 点 r(t)，构成整个曲线《繁体：線》。
空间曲线 r，在每一个点 p 点处的 导数，定义为：
r"(t) = (x"(t)， y"(t)， z"(t))
它[繁：牠]是 p 处的切向量，表示曲线在该点处的变化。
如果，将 空间曲线 r 的参数 t 看成时间轴，则 曲线就是 质点 m 的运动轨迹[繁体：跡]，而 p 处的切向量 r"(t) ，就【拼音：jiù】是 m 在 p 点处的 瞬时速度，r"(t) 的方向 是速度方向，|r"(t)| 是速度块慢。
高斯他们很早就发现：曲线参数的选取 和 曲线的形状无关，也就是说，随着参数选取不同，构成曲线的点并没有改变，改变的仅仅从 R的点 到 曲线的点 的对应关系。
例如，对于 曲线，r(t) = (t³， t， 0)，我(读：wǒ)们令，t= At，得到：
改变 A 相[读：xiāng]当于 我们选取了不同的 参数 t，见如下动图：
图中，我们(繁体：們)可以看到，随着 A 的变化，曲线形状不变(繁：變)，只有 t = 1， 2， 3 所对应的 曲线内位置 在改变。
正因为（繁体：爲），曲线形状保持不变，所（练：suǒ）以 曲线 在 任何一点 p 处的 切线 也是固定不变，从而，p 点处的 切向量 方向 同样不变，如上图，所改变的仅仅是 切向量的长度，因为它表示，曲线弧长随参数[繁：數]的变化率，也就是，上面的 质点 m 运动速度的快慢。
图中，p = (1， 1) 点处 与 t = 1/A 对应，因此 p 处切向（繁：嚮）量为：
r"(1) = (3A³t²， A， 0)|_{t=1/A} = (3A， A， 0)
其方向(繁体：嚮)向量为：
显然 和 A 无《繁体：無》关。
为了，保证 研究 曲线的形状 时，不受 参数选择 的影响，我们 可以 通过 适当 选择参数 t = t(s)，使得 r 在 新的 参数下的 向量函数 r(s) = r(t(s)) 在每个点 p 的切向量 r"(s) 是 单位向量，即 |r"(s)| = 1。称 s 为自然参数。
这样以来，令 α(s) = r"(s)， α 仅仅表示曲线的方向，于是， α" 就是曲线方向的改(gǎi)变，其大小 就表征 曲线的弯曲程度，称为 曲率，记为 κ(s) = |α"(s)|。同{pinyin：tóng}时，令 β(s) = α"(s)/|α"(s)|，来表弯曲方向。
因为(繁：爲)：
α ⋅ α = |α|² = 1
于【pinyin：yú】是，
0 = 1" = (α ⋅ α)" = α" ⋅ α α ⋅ α" = 2 α" ⋅ α
故《练：gù》，
α" ⋅ α = 0
这说明 α" ⊥ α ，也就是 β ⊥ α，于是 称 β 和 α 所在平面为 密切平面(miàn)。
对于 自然参数 曲线 r(s)，我们同样可以 令 s = s(t)，将 r(s)，变回 一般参数：
r(t) = r(s(t))
等式shì 两边，关于 t 求导得到：
r"(t) = r"(s) s"(t) = α(s) s"(t) ⋯ ①
于是，切向量方向（繁体：嚮）为：
r"(t) / |r"(t)| =α(s) s"(t) / |α(s) s"(t)| = sing(s"(t)) α(s)
可见，对于 切向量方向，参数改变仅仅只能影响（繁体：響） 的正负定向。
而切向量liàng 大小为：
|r"(t)| = |α(s) s"(t)| = |α(s)| |s"(t)| = |s"(t)|
可见，切向量大小，有完全由参数选择决定，和曲线 r 无（繁体：無）关。
等式（拼音：shì） ① 两边，继续关于 t 求导得到：
r""(t) = (α(s) s"(t))" = (α(s))" s"(t) α(s) s""(t) = α"(s) (s"(t))² α(s) s""(t)
然后，我们将，等式娱乐城[pinyin：shì]两边 分别 与 等式 ① 两边 叉乘，有：
r"(t) × r""(t) = α(s) s"(t) × (α"(s) (s"(t))² α(s) s""(t)) = (α(s) × α"(s)) (s"(t))³ (α(s) × α(s)) s"(t) s""(t) = (α(s) × α"(s)) (s"(t))³
于（读：yú）是，
|r"(t) × r""(t)| = |(α(s) × α"(s)) (s"(t))³| = |α(s) × α"(s)| |s"(t)|³ = |α(s)| |α"(s)| sin ∠ α α" |s"(t)|³
根据[繁：據]，
|α(s)| = 1， κ = |α"(s)|， α" ⊥ α， |s"(t)| = |r"(t)|
有[pinyin：yǒu]，
|r"(t) × r""(t)| = κ |r"(t)|³
最终得【练：dé】到，一般参数曲线的曲率计算公式：
κ = |r"(t) × r""(t)|/|r"(t)|³
半径为 r( ≥ 0)，圆心在原点，位于 XY 平面的 圆 的向量函数为：
r(t) = (r cos t， r sin t， 0)
于是{拼音：shì}，
r"(t) = (-r sin t， r cos t， 0)
r""(t) = (-r cos t， -r sin t， 0)
r"(t) × r""(t) = (0， 0， (-r sin t)(-r sin t) - (-r cost)(r cost)) = (0， 0， r²)
|r"(t) × r""(t)| = r²
|r"(t)| = r
根据上面 的 曲率计算公式，我们《繁：們》就可以算出 圆 的曲率为：
可见 圆 的曲{pinyin：qū}率是一个常数。
设 自然参数曲线 r 上 p 点的 曲率为 κ，我们称 同样 过 p 点 位于 密切平面的 和 r 在 p 点共切线的，曲率是 κ 的 圆 为 曲率圆，曲率圆的半径 称为 曲率半径。
因为 圆[拼音：yuán] 的曲率为 κ = 1/r，所以，
曲[繁体：麴]率半径 = 1/κ
这就（拼音：jiù）是曲率半径的计算公式。
关于，最初，例子中的曲线：
r(t) = (t³， t， 0)
有{练：yǒu}：
r"(t) = (3t²， 1， 0)
r""(t) = (6t， 0， 0)
r"(t) × r""(t) = (0， 0， -6t)
|r"(t) × r""(t)| = 6|t|
|r"(t)| = √(9t⁴ 1)
κ = 6|t| / (√(9t⁴ 1))³
于是《shì》，
曲(繁体：麴)率半径 = (√(9t⁴ 1))³ / 6|t|
总结：曲率半径 就是 1/κ，因此 计算曲率半径的关键是计算 曲线的曲率 κ，
- 对于自然参数曲线 r(s)，使用定义： κ(s) = |r""(s)|；
- 对于一般参数曲线 r(t)，使用公式： κ(t) = |r"(t) × r""(t)|/|r"(t)|³。
补[拼音：bǔ]充（2020/4/1）：
如果 平面曲线 F(x， y) = 0 中的 F 满足 隐函数定理条件，则(繁：則) 存在 函数：
y = f(x)
写成空间参数曲线形式(拼音：shì)为：
r(x) = (x， f(x)， 0)
于[拼音：yú]是：
r"(x) = (1， f"(x)， 0)
r""(x) = (0， f""(x)， 0)
r"(x) × r""(x) = (0， 0， f""(x))
|r"(x) × r""(x)| = |f""(x)|
|r"(x)| = √(1 (f"(x))²)
最后，得到《pinyin：dào》 函数的曲率计算公式：
κ(x) = |f""(x)| / (√(1 (f"(x))²))³
最初的例子《练：zi》中，曲线对应的函数为：
y = x³
根据上面的公式，计(繁：計)算 曲率为：
κ(x) = |6x| / (√(1 9x⁴))³
这与上《练：shàng》面的计算结果一致。
上半边(繁体：邊)圆的 函数为：
y = √(r² - x²)
根据[繁体：據]上面的公式，计算 曲率为：
κ(x) = |-(r²/(√(r² - x²))³|/(√(1 (-x/√(r² - x²))²))³ = r²/(√(r² - x²))³ / (√(r² / (r² - x²)))³ = 1/r
这也与上面的计（繁体：計）算结果一致。
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