偏导数的背景？在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。引入： 在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率
偏导数的背景？
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持（拼音：chí）其他变量恒定（相对于【练：yú】全导数，在其中（zhōng）所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
引皇冠体育《pinyin：yǐn》入：
在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因[练：yīn]此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不[拼音：bù]同方《拼音：fāng》向的变化率。
在这里我们只学习函（练：hán）数f#28x，y#29沿着平行于x轴和平{读：píng}行于y轴两个特殊方位变动时，f#28x，y#29的变化率。
偏《pinyin：piān》导数的算子符号为:∂。
偏导数反映【pinyin：yìng】的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
偏导数的四则运算法则？
定义2. 1 设函数zf#28x，y#29在点[diǎn]#28x0，y0#29的某一{读：yī}邻域内有定义当y固定在y0 而x在x0处有增量x时相应地函{pinyin：hán}数有增量 f#28x0x，y0#29f#28x0，y0#29
如【拼音：rú】果
#29处对{pinyin：duì}x的偏导数记为
即《拼音：jí》
。
同理可定义函数zf#28x，y#29在点《繁：點》#28x0，y0#29处对y的偏导数为
.
即（pinyin：jí）
。
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高等数学下册讲稿 第四章 数学(繁体：學)分析教研室
如果函数zf#28x，y#29在区域D内任一点#28x，y#29处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x、 y的函数[繁体：數]它就称为[繁：爲]函数zf#28x，y#29对自变量x的偏导函数简称偏导数记作
.
同理可{k娱乐城ě}以定义函数zf#28x，y#29对自变量y的偏导数记作
.
偏导数的概念可以推广[guǎng]到二元以上函数
如uf#28x，y，z#29在【pinyin：zài】#28x，y，z#29处
2、计{pinyin：jì}算
从偏导数的定义可以看出计算多元函数的偏导数并不需要新的方法若对某一个自变量求导 只需将其他自变量常数 用一元函数微分法即可。 于是一元函数的求导公式和求导法《pinyin：fǎ》则都可以（pinyin：yǐ）移植到多元函数的偏导数的计算上来。
例1求zx23xyy2在点#281，2#29处（繁：處）的偏导数
解《练：jiě》法一
.
解[拼音：jiě]法二 z
z x113yy
这里我们要知道[pinyin：dào]有时(繁：時) “先求偏导函数再代值求某点的{pinyin：de}偏导数”不一定简便。如下例
例2 f#28x，y，z#29x
.
解:
.
例{pinyin：lì}3 已知理想气[繁体：氣]体的状态方程pVRT R为常数求证(zhèng) pVTVpT1 .2
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分{读：fēn}析教研室
证明（拼音：míng） p
.
有关偏导数的几[jǐ]点说明
1、 偏【练：piān】导数
是一个整体记《澳门博彩繁体：記》号不能拆分
2、求分界点、不连续点处的偏导(dǎo)数要用定义求
例（读：lì）如，zf#28x，y#29 xy，求
.
解（jiě）
.
例4设[繁体：設]f#28x，y#29
#29的偏{piān}导数。
解《pinyin：jiě》当#28x
当#28x，y#29#280，0#29时，按定义可知(练：zhī)
，
，
故{练：gù}
.
、偏导数《繁：數》存在与连续的关系
一元函数中在某点可kě 导 函数在该点一定连续但【拼音：dàn】多元函数中在某点偏导数存在 函数未必连续.
例{读：lì}如
#29处fx#280，0#29fy#280，0#290.但函数在该点处(繁体：處)并不连续.
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研《练：yán》室
4、偏导（繁体：導）数的几何意义
设（读：shè）M0#28x 0，y 0，f#28x 0，y 0#29#29 是曲面zf#28x，y#29上一点则
偏导数fx#28x0，y0#29就是曲面被平面yy0所截得的曲线在点M 0处的切线M0 Tx对x轴的《pinyin：de》斜率偏导数fy#28x0，y0#29就(读：jiù)是曲面被平面xx0所[读：suǒ]截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率.
二、高阶偏(读：piān)导数
设函数zf#28x，y#29在区域D内的两个偏{pinyin：piān}导数fx#28x，y#29 、 fy#28x，y#29的偏导数也存在【pinyin：zài】则称它们是函数zf#28x，y#29的二阶偏导数。记（繁体：記）作
#29
#29
定义二阶及二阶以上的偏导数统《繁体：統》称为高阶偏导数.
例lì 5设z
.
解jiě
.
例6设ueax cosby求二èr 阶偏导数.
解
问题混合偏导数[繁体：數]都相等吗
例7设《繁体：設》f#28x，y#29
.
解（练：jiě）当#28x，y#29#280，0#29时，
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高[读：gāo]等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室
，
当#28x，y#29#280，0#29时按定(pinyin：dìng)义可知
，
，
显然(rán)fxy#280，0#29fyx#280，0#29.
问题具备怎样的条件才能使混合偏导数相【练：xiāng】等
定理2. 1 如果函[读：hán]数zf#28x，y#29的两个二阶混合偏导数
内连续那末在该区域（yù）内这两个二阶混合偏导数必相等
例8验证函数[繁体：數]u#28x
.
证[zhèng]明 ln x
，
证澳门金沙毕《繁：畢》.
内容小结（繁：結）:
1.偏导数的定{pinyin：dìng}义偏增量比的极限
2.偏(读：piān)导数的澳门伦敦人计算、偏导数的几何意义
3.高阶偏导数纯偏导混合偏导及其相《练：xiāng》等的条件.
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