当前位置:Scooters

偏导数在高中数学的应用 偏导数的《pinyin:de》背景?

2025-03-19 21:49:39Scooters

偏导数的背景?在数学中,一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。引入:  在xOy平面内,当动点由P#28x0,y0#29沿不同方向变化时,函数f#28x,y#29的变化快慢一般说来是不同的,因此就需要研究f#28x,y#29在#28x0,y0#29点处沿不同方向的变化率

偏导数的背景?

在数学中,一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持(拼音:chí)其他变量恒定(相对于【练:yú】全导数,在其中(zhōng)所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

皇冠体育《pinyin:yǐn》入:

  在xOy平面内,当动点由P#28x0,y0#29沿不同方向变化时,函数f#28x,y#29的变化快慢一般说来是不同的,因[练:yīn]此就需要研究f#28x,y#29在#28x0,y0#29点处沿不[拼音:bù]同方《拼音:fāng》向的变化率。

  在这里我们只学习函(练:hán)数f#28x,y#29沿着平行于x轴和平{读:píng}行于y轴两个特殊方位变动时,f#28x,y#29的变化率。

  偏《pinyin:piān》导数的算子符号为:∂。

  偏导数反映【pinyin:yìng】的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

偏导数的四则运算法则?

定义2. 1 设函数zf#28x,y#29在点[diǎn]#28x0,y0#29的某一{读:yī}邻域内有定义当y固定在y0 而x在x0处有增量x时相应地函{pinyin:hán}数有增量 f#28x0x,y0#29f#28x0,y0#29 

如【拼音:rú】果

#29处对{pinyin:duì}x的偏导数记为

即《拼音:jí》

亚博体育

同理可定义函数zf#28x,y#29在点《繁:點》#28x0,y0#29处对y的偏导数为

.

即(pinyin:jí)

1

1/6页(繁:頁)

高等数学下册讲稿 第四章 数学(繁体:學)分析教研室

如果函数zf#28x,y#29在区域D内任一点#28x,y#29处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x、 y的函数[繁体:數]它就称为[繁:爲]函数zf#28x,y#29对自变量x的偏导函数简称偏导数记作

.

同理可{k娱乐城ě}以定义函数zf#28x,y#29对自变量y的偏导数记作

.

偏导数的概念可以推广[guǎng]到二元以上函数

如uf#28x,y,z#29在【pinyin:zài】#28x,y,z#29处

2、计{pinyin:jì}算

从偏导数的定义可以看出计算多元函数的偏导数并不需要新的方法若对某一个自变量求导 只需将其他自变量常数 用一元函数微分法即可。 于是一元函数的求导公式和求导法《pinyin:fǎ》则都可以(pinyin:yǐ)移植到多元函数的偏导数的计算上来。

例1求zx23xyy2在点#281,2#29处(繁:處)的偏导数

解《练:jiě》法一

世界杯下注

.

解[拼音:jiě]法二 z

z x113yy

这里我们要知道[pinyin:dào]有时(繁:時) “先求偏导函数再代值求某点的{pinyin:de}偏导数”不一定简便。如下例

例2 f#28x,y,z#29x

直播吧

.

解:

.

例{pinyin:lì}3 已知理想气[繁体:氣]体的状态方程pVRT R为常数求证(zhèng) pVTVpT1 .2

2/6页[yè]

高等数学下册讲稿 第四章 数学分{读:fēn}析教研室

证明(拼音:míng) p

.

有关偏导数的几[jǐ]点说明

1、 偏【练:piān】导数

是一个整体记《澳门博彩繁体:記》号不能拆分

2、求分界点、不连续点处的偏导(dǎo)数要用定义求

例(读:lì)如,zf#28x,y#29 xy,求

.

解(jiě)

.

例4设[繁体:設]f#28x,y#29

直播吧

#29的偏{piān}导数。

解《pinyin:jiě》当#28x

当#28x,y#29#280,0#29时,按定义可知(练:zhī)

故{练:gù}

.

 、偏导数《繁:數》存在与连续的关系

一元函数中在某点可kě 导 函数在该点一定连续但【拼音:dàn】多元函数中在某点偏导数存在 函数未必连续.

例{读:lì}如

#29处fx#280,0#29fy#280,0#290.但函数在该点处(繁体:處)并不连续.

3

3/6页【练:yè】

高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研《练:yán》室

4、偏导(繁体:導)数的几何意义

设(读:shè)M0#28x 0,y 0,f#28x 0,y 0#29#29 是曲面zf#28x,y#29上一点则

偏导数fx#28x0,y0#29就是曲面被平面yy0所截得的曲线在点M 0处的切线M0 Tx对x轴的《pinyin:de》斜率偏导数fy#28x0,y0#29就(读:jiù)是曲面被平面xx0所[读:suǒ]截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率.

二、高阶偏(读:piān)导数

设函数zf#28x,y#29在区域D内的两个偏{pinyin:piān}导数fx#28x,y#29 、 fy#28x,y#29的偏导数也存在【pinyin:zài】则称它们是函数zf#28x,y#29的二阶偏导数。记(繁体:記)作

#29

#29

定义二阶及二阶以上的偏导数统《繁体:統》称为高阶偏导数.

例lì 5设z

.

解jiě 

.

例6设ueax cosby求二èr 阶偏导数.

解

问题混合偏导数[繁体:數]都相等吗

例7设《繁体:設》f#28x,y#29

.

解(练:jiě)当#28x,y#29#280,0#29时,

4

4/6页[繁体:頁]

高[读:gāo]等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室

当#28x,y#29#280,0#29时按定(pinyin:dìng)义可知

显然(rán)fxy#280,0#29fyx#280,0#29.

问题具备怎样的条件才能使混合偏导数相【练:xiāng】等

定理2. 1 如果函[读:hán]数zf#28x,y#29的两个二阶混合偏导数

澳门永利

内连续那末在该区域(yù)内这两个二阶混合偏导数必相等

例8验证函数[繁体:數]u#28x

.

证[zhèng]明 ln x

澳门金沙毕《繁:畢》.

内容小结(繁:結):

1.偏导数的定{pinyin:dìng}义偏增量比的极限

2.偏(读:piān)导数的澳门伦敦人计算、偏导数的几何意义

3.高阶偏导数纯偏导混合偏导及其相《练:xiāng》等的条件.

本文链接:http://10.21taiyang.com/Scooters/5345054.html
偏导数在高中数学的应用 偏导数的《pinyin:de》背景?转载请注明出处来源